Prawdopodobieństwo / r normalny

[maya999]

Mam oto takie zadanie, z którym nie bardzo wiem co poczac....

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}\) są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0, \sigma^2)}\) . Obliczyc \(\displaystyle{ P(X_{1}-5X_{2}>5X_{3}-X_{4})}\)

[scyth]

Jaki ma rozkład \(\displaystyle{ X_1 - 5X_2}\)?
Jaki ma rozkład \(\displaystyle{ 5X_3 - X_4}\)?
Gdy je wyliczysz, od razu zobaczysz, jaka ma być odpowiedź.

[maya999]

przyznam, że jest to dla mnie ciemna magia i nie wiem jaki rozkład ma \(\displaystyle{ X_1 - 5X_2}\) i \(\displaystyle{ 5X_3 - X_4}\) mógłbyś napisać więcej o rozwiązaniu tego zadania?

[Kamil_B]

Druga własność

[maya999]

Czyli to powinno wyglądać mniej więcej tak?
\(\displaystyle{ P(X_1+X_4>5(X_2+X_3))}\) i oznaczam \(\displaystyle{ X_1+X_4 = Z ,\ Z \sim N(0,2\sigma^2)}\) i \(\displaystyle{ X_2+X_3 = Y ,\ Y\sim N(0,2\sigma^2)}\) a potem otrzymuje : \(\displaystyle{ P(Z>5Y)=\int\limits_{- \infty}^{ \infty }\int\limits_{5y}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{2\sigma^2 \cdot 2\pi} } e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{z^2}{2\sigma^2} } \ \cdot \ \frac{1}{ \sqrt{2\sigma^2 \cdot 2\pi} } e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{y^2}{2\sigma^2} }dy dz}\)
Czy o to chodziło?

[scyth]

Łooo, ale chyba przekombinowałaś. Jeszcze raz, jakie mają rozkłady łączne?

[pyzol]

A tak sprobowac, bez liczenia, srednia wynosi 0. Korzystajac z tego, ze ten rozklad jest symetryczny.
\(\displaystyle{ X_k \sim -X_k\\
X_1-5X_2 \sim X_4-5 X_3 \sim 5X_3-X_4 \sim \mathcal{N}(0,p)\\
P(X_1-5X_2>5X_3-X_4)=P(X_1-5X_2<5X_3-X_4)=1-P(X_1-5X_2>5X_3-X_4)=1/2}\)
Bedzie poprawnie?

[scyth]

Ważne jest założenie, że zmienne pochodzą z tego samego rozkładu. Należy pokazać, że nowe rozkłady mają te same wartości oczekiwane i wariancje - na tym polega to zadanie, że trzeba wiedzieć, na co się powołać. Odpowiedź oczywiście poprawna.