Ile jest roznych rozwiazan...

maly6f6 · Post autor: **maly6f6** » 2 lis 2006, o 17:58

Witam wszystkich !!!
Mam problem z rozwiazaniem nastepojacego zadanka:

Ile jest roznych rozwiazan rownania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=25}\)
a) w zbiorze liczb calkowitych nieujemnych
b) w zbiorze liczb naturalnych

Za wszelka pomoc z gory dziekuje!!!

Sir George · Post autor: **Sir George** » 3 lis 2006, o 00:24

To zależy, czy rozwiązania 10,6,5,4 i 10,4,5,6 traktujemy jako to samo rozwiązanie, czy jako dwa różne...

maly6f6 · Post autor: **maly6f6** » 3 lis 2006, o 10:06

Wydaje mi sie ze traktujemy to jako rozne rozwiazania bo przy niewiadomych sa indeksy co wskazuje na to ze kolejnosc gra tu role. Przynajmniej tak mi sie wydaje. Nie jestem tego pewien ale prosze tak to traktowac.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 3 lis 2006, o 10:47

Ad.a) \(\displaystyle{ 28\choose3}\)

Ad.b) \(\displaystyle{ 24\choose3}\)

Sorki, ale muszę spadać... wyjaśnię Ci przy okazji (może dziś wieczorem, jak znajdę działające łącze...)

maly6f6 · Post autor: **maly6f6** » 3 lis 2006, o 10:52

Ok fajnie by bylo bo jak narazie to nie wiem z kad sie to wzielo!!!

Sir George · Post autor: **Sir George** » 3 lis 2006, o 19:36

maly6f6 pisze:bo jak na razie to nie wiem skad sie to wzielo

Ok.
Ad.a) Wyobraź sobie, ze masz 25 piłeczek, które wkładasz do 4 pudełek oznaczonych x1,...,x4. Na ile sposobów możesz to zrobić, na tyle sposobów możesz rozłożyć 25 na sumę czterech nieujemnych składników.
A możliwości te liczysz w następujący sposób: miast wkładać piłki do pudełek ustawiasz je w rzędzie dodając do nich jeszcze trzy inne, np. w innym kolorze. Następnie zamieniasz owe trzy "inne" piłki na przegródki formując w ten sposób cztery "pudełka"... A możesz to uczynić na \(\displaystyle{ 25+3\choose 3}\) sposoby.

Ad.b) Jak wyżej, tyle tylko, że musisz zapewnić, by w każdym pudełku była przynajmniej jedna piłka. Robisz to następująco: wstawiasz trzy przegródki w przerwy między 25 piłkami ułożonymi w rzędzie. Przerw jest 24, zatem możesz to uczynić na \(\displaystyle{ 24\choose3}\) sposoby.

Pozdrawiam i .... proszę, popracuj nad ortografią...

maly6f6 · Post autor: **maly6f6** » 3 lis 2006, o 20:16

Wielkie dieki za pomoc , a jezeli chodzi o ortografie to niestety bedzie ciezko ale nastepnym razem moze najpierw pomysle a potem dopiero napisze (choc mi osobiscie to wogole nie przeszkadza )