Prawdopodobieństwo warunkowei taksówki

[grzegorz314]

Próbuję rozwiązać takie zadanie:
W mieście działają dwa przedsiębiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15% samochodów). Świadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy twierdzi, że samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, że świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli się w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka?

Rozwiązuję to tak:
N - zdarzenie że w wypadku brała udział niebieska taksówka
A - zdarzenie, że świadek twierdzi, że udział brała niebieska taksówka
Interesuje nas P(N|A) (prawdopodobieństwo, że była to niebieska taksówka, jeśli tak twierdzi świadek).
Ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(N|A) = \frac{ P(A|N) \cdot P(N) }{ P(A|N) \cdot P(N) + P(A|N') \cdot P(N') }}\)
\(\displaystyle{ P(N) = \frac{15}{100}}\), \(\displaystyle{ P(N') = \frac{85}{100}}\) (bo jest 15% niebieskich)
\(\displaystyle{ P(A|N) = \frac{8}{10}}\) (bo jeśli samochód był niebieski, to świadek go rozpozna w 80% przypadków)
\(\displaystyle{ P(A|N') = \frac{2}{10}}\) (tu z kolei świadek myli się w 20% przypadków)

czyli \(\displaystyle{ P(N|A) = \frac{ \frac{8}{10} \cdot \frac{15}{100} }{ \frac{8}{10} \cdot \frac{15}{100} + \frac{2}{10} \cdot \frac{85}{100} } = \frac{ \frac{12}{100} } { \frac{39}{100} } = \frac{12}{39} \approx 0.308}\)

A odpowiedź powinna wyjść około 41%. Co robię źlę?

[Comma]

Próbowałeś może innej definicji zdarzeń? Np:
N - zdarzenie że w wypadku brała udział niebieska taksówka
A - zdarzenie, że świadek poprawnie ocenia kolor

[grzegorz314]

Próbowałem już na samym początku. Tylko nie wiem co właściwie w tej sytuacji mam wyznaczyć. Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ P(N)}\). No to z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
\(\displaystyle{ P(N) = P(N|A) \cdot P(A) + P(N|A') \cdot P(A')}\)

Ale teraz nie wiem co to właściwie jest P(N|A) i P(N|A'). Sensowne są moim zdaniem dwie interpretacje:

Pierwsza:
\(\displaystyle{ P(N|A) = 1}\) , bo jeśli świadek twierdzi, że widział niebieską taksówkę, a przyjmujemy, że ocenia dobrze, to na pewno była to niebieska taksówka. Z tych samych przyczyn \(\displaystyle{ P(N|A') = 0.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(N) = 1 \cdot \frac{8}{10} + 0 \cdot \frac{2}{10} = 0.8}\).
Czyli źle.

Druga interpretacja:
\(\displaystyle{ P(N|A) = \frac{15}{100}}\), bo jest 15% niebieskich taksówek
\(\displaystyle{ P(N|A') = \frac{85}{100}}\), bo skoro świadek ocenia źle, a zeznał, że widział niebieską taksówkę, więc tak naprawdę musiała to być zielona taksówka, których jest 85%.
Wtedy \(\displaystyle{ P(N) = \frac{15}{100} \cdot \frac{8}{10} + \frac{85}{100} \cdot \frac{2}{10} = \frac{39}{100}}\).
Czyli znowu nie tak.

A jestem pewien, że musi wyjść 41%, bo napisałem nawet program, który symuluje tę sytuację i to rzeczywiście tak wychodzi.

Edit:
Sorry, rozwiązanie w pierwszym poście jest dobre
Zrobiłem błąd rachunkowy, wychodzi 12/29, a nie 12/39