Rzut kością-prawdopodobieństwo

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
MadEagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Za Tobą
Podziękował: 8 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: MadEagle »

Rzucamy jeden raz kostką do gry. Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) oznacza wypadnięcie liczby oczek podzielnej przez \(\displaystyle{ 3}\). Zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) oznacza wypadnięcie liczby oczek mniejszej niż \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left(A \right)}\) i \(\displaystyle{ P\left(B \right)}\). Czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)i\(\displaystyle{ B}\)są niezależne?

Jak się za to zabrać?



\(\displaystyle{ P \left(A \right)}\) - liczba oczek podzielnych przez \(\displaystyle{ 3=\frac{2}{6}}\)/ czyli prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P \left(B \right)}\) - liczba oczek mniejsza niż \(\displaystyle{ 4= \frac{3}{6}}\)/ czyli prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Są niezależne, ponieważ żadna z nich nie korzysta z drugiej.
Ostatnio zmieniony 11 sie 2010, o 12:15 przez MadEagle, łącznie zmieniany 1 raz.
miodzio1988

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: miodzio1988 »

MadEagle pisze:
Są niezależne, ponieważ żadna z nich nie korzysta z drugiej.
Bzdura. Zacznij od zobaczenia jaka jest definicja zdarzeń niezależnych i wtedy sprawdź czy ta definicja się zgadza
Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: Quaerens »

\(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{2}}\)
MadEagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Za Tobą
Podziękował: 8 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: MadEagle »

Ok dzięki damian za wynik ale niestety on Mi nie pomoże. Jeszcze raz powtórzę pytanie:
Jak się za to zabrać?
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: Afish »

Zdarzenia są niezależne, gdy \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\)
Wystarczy podstawić do wzoru i sprawdzić, czy równość zachodzi.
MadEagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Za Tobą
Podziękował: 8 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: MadEagle »

Afish pisze:Zdarzenia są niezależne, gdy \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\)
Wystarczy podstawić do wzoru i sprawdzić, czy równość zachodzi.
Ok, ale żeby podstawić do wzoru muszę wiedzieć jak obliczyć \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\) a z tym mam właśnie problem, bo z tego co damian napisał to widzę, że nasze wyniki się różnią nie wiem dlaczego, ponieważ podał gotowy wynik.
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: mkb »

Prawdopodobieństwa P(A) i P(B) masz (Damian poprawił Twoje obliczenie, zacząłeś dobrze, czyli od 3/6, błąd pojawił się dalej).
Zostaje policzenie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\), trzeba zacząć od określenia, czym jest zdarzenie \(\displaystyle{ A \cap B}\), jakie wyniki je spełniają, a jego prawdopodobieństwo dalej już potrafisz policzyć.
MadEagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Za Tobą
Podziękował: 8 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: MadEagle »

Zdarzenie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest ilorazem zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\)
Zdarzenie \(\displaystyle{ A=\{3,6\}}\) oraz jego prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Zdarzenie \(\displaystyle{ B=\{1,2,3\}}\) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ (A \cap B) =\{3\}}\)

i prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{6}}\) \(\displaystyle{ ?}\)
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: mkb »

Wynik OK, ale nie ta logika:
1.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) jest prawdopodobieństwem, a nie zdarzeniem. Zdarzeniem jest \(\displaystyle{ A \cap B}\). I nie jest to iloraz, ale iloczyn.
2.
\(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{6}}\) dlatego, że jeden wynik należy do iloczynu zdarzeń (napisałeś wyżej \(\displaystyle{ (A \cap B) =\{3\}}\)), a możliwych wyników jest 6 (jednakowo prawdopodobnych).
3.
Testując niezależność liczymy iloczyn \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{6}}\). Jeżeli ten iloczyn jest równy policzonemu niezależnie \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) (a tak jest w tym przypadku, to zdarzenia są niezależne.
W ogólności tak nie musi być, np. dla A - wyrzucenie parzystej liczby oczek, B - wyrzucenie nieparzystej liczby oczek: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \neq 0}\)
MadEagle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Za Tobą
Podziękował: 8 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: MadEagle »

A zależne są gdy nie spełniają \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B)=P(A \cap B)}\) tak?
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Rzut kością-prawdopodobieństwo

Post autor: mkb »

Jeżeli \(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B \neq P(A \cap B)}\) to zdarzenia nie są niezależne.
ODPOWIEDZ