drużyny sportowe - prawdopodobieństwo

[szymon1234513]

Proszę o pomoc:

Dla zmniejszenia ogólnej ilości gier podzielono losowo 2n drużyn sportowych na dwie podgrupy. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie najsilniejsze drużyny znajdą się w:
a) różnych grupach
b) tej samej grupie

Byłbym wdzięczny za krótkie komentarze do rozwiązania.
Z góry dzięki.

Pzdr...

[miodzio1988]

No najpierw zacznij od odpowiedzi na pytanie:
na ile sposób można podzielić te \(\displaystyle{ 2n}\) osób na dwie grupki. Jak Ci na \(\displaystyle{ n}\) nie idzie to przyjmij sobie \(\displaystyle{ n=2}\), \(\displaystyle{ n=3}\), \(\displaystyle{ n=4}\) itd.

Pamiętaj, że nie jest napisane , że mają to być równe grupy ( powinno?).

[szymon1234513]

Może napiszesz rozwiązanie jak wiesz jak to zrobić?

[miodzio1988]

Może napiszesz rozwiązanie jak wiesz jak to zrobić?

Może nie. To Twoje zadanie jest więc masz zrobić je sam.

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega ma losowym podziale \(\displaystyle{ 2n, n \in N, n\geq 2}\) drużyn na dwie podgrupy.
Model doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ ( \Omega, \Sigma, P)}\)
\(\displaystyle{ \Omega}\)- zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia
\(\displaystyle{ \Omega = \{ \{\omega_{i_{1}},\omega_{i_{2}},..., \omega_{i_{n}\}: i_{1}, i_{2}, ...,i_{n}\in \{ 1,2, ...,2n\} \wedge i_{k} \neq i_{l} \wedge k \neq l \}.}\)
Moc (liczność) zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ |\Omega | = {2n \choose n}}\)
jest równa ilości wszystkich podzbiorów n-elementowych (kombinacji) ze zbioru 2n - elementowego.
\(\displaystyle{ \Sigma = 2^{\Omega}}\) - klasa wszystkich zdarzeń, łącznie ze zdarzeń pewnym \(\displaystyle{ \Omega}\), i niemożliwym \(\displaystyle{ \{O\}.}\)
\(\displaystyle{ P}\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega.}\)
Zakładamy, że wszystkie podziały drużyn na dwie podgrupy są jednakowo prawdopodobne, stąd
\(\displaystyle{ P(\omega_{i}) = \frac{1}{ {2n \choose n}}}\) dla \(\displaystyle{ ,i =1,2,..., 2n.}\)
a) A - zdarzenie " każda z dwóch najlepszych drużyn znajdzie się w innej podgrupie".
\(\displaystyle{ A = \{ {\omega_i_{1}, \omega_{i_{2}},..., \omega_{i_{n}} \}: i_{k} \in \{ j_{1}, j_{2},...,j_{n}\} \wedge i_{l} \in \{ j_{n+1}, j_{n+2},..., j_{2n} \} , i_{k}\neq i _{l}, k\neq l, j_{s}, j_{t} \in \{1,2,...,2n \} j_{s} \neq j_{t}, s \neq t \}.}\)
Jeżeli do pierwszej podgrupy wylosujemy jedną z dwóch najlepszych, drużyn to musimy wybrać z pozostałych
\(\displaystyle{ 2n -2}\) ( bo nie możemy wylosować do tej podgrupy drugiej najlepszej drużyny) - \(\displaystyle{ n-1}\) drużyn.
Stąd liczność zbioru A
\(\displaystyle{ |A| = 2 {2n -2 \choose n-1}.}\)
Na podstawie klasycznej definicji pawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{|A|}{|\Omega|} = 2\frac{{2n-2\choose n-1}}{{2n \choose n}}
= \frac{n}{2n-1}.}\)
bo
\(\displaystyle{ 2 {2n-2 \choose n-1} = 2\frac{(2n-2)! }{(n-1)! (n-1)!}.}\)
\(\displaystyle{ {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{n! n!}.}\) (proszę sprawdzić).
b) B - zdarzenie ' dwie najlepsze drużyny trafią do jednej podgrupy".
\(\displaystyle{ B = \Omega - A}\)
Z definicji prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:
\(\displaystyle{ P(B) = P(\Omega) - P(A) = 1 - P(A)= 1 - \frac{n}{2n -1} = {\frac{n-1}{2n-1}.}\)
Uwaga:
Jeżeli nie opieramy się na prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego, to możemy
obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B również z definicji klasycznej prawdopodobieństwa,
definiując zdarzenie B
\(\displaystyle{ B = \{ {\omega_i_{1}, \omega_{i_{2}},..., \omega_{i_{n}} \}: i_{k} \in \{ j_{1}, j_{2},...,j_{n}\} \wedge i_{l}\in \{ j_1}, j_2},..., j_{n} \} , i_{k}\neq i _{l}, k\neq l, \wedge j_{1}, j_{2},...,j_{n}
\in \{1,2, ..., 2n \}, j_{s} \neq j_{t} , s \neq t \}.}\)
Moc zbioru B jest równa podwojonej liczbie kombinacji ze zbioru \(\displaystyle{ 2n-1}\) po \(\displaystyle{ n-1.}\)
(bo jeżeli dwie z najlepszych drużyn znajdą się w jednej z dwóch podgrup, to z pozostałych \(\displaystyle{ 2n-2}\) musimy wybrać \(\displaystyle{ n-2}\) drużyn.
Stąd:
\(\displaystyle{ P(B)= \frac{|B|}{|\Omega|}= 2\frac{ {2n-2 \choose n-2}}{ {2n \choose n}}= \frac{n-1}{2n-1}.}\)

-- 12 lip 2010, o 18:06 --