splot gęstości

[justyna0811]

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1], X}\) ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ 1}\). Policz gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\)

[behemoth]

Niech \(\displaystyle{ f_Y(x)=\pmb{1}_{[0,1]}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f_X()=e^{-x}\pmb{1}_{(0,\infty)}(x)}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ f_{X+Y}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(t-x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\pmb{1}_{(0,\infty)}(x)\cdot\pmb{1}_{[0,1]}(t-x)dx=\\=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\pmb{1}_{(0,\infty)}(x)\cdot\pmb{1}_{[t-1,t]}(x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\pmb{1}_{(0,\infty)\cap[t-1,t]}(x)dx=(*)}\)
Kiedy \(\displaystyle{ (0,\infty)\cap[t-1,t]\ne\varnothing??}\)
Wtedy, gdy:
1) dla \(\displaystyle{ t-1\le 0\le t \Leftrightarrow -1\le -t \le 0 \Leftrightarrow 1\ge t \ge 0 \Leftrightarrow t\in[0,1]}\) wtedy \(\displaystyle{ 0<x\le t}\)
2) dla \(\displaystyle{ 0<t-1\le t <\infty \Leftrightarrow 1<t\le t+1 <\infty \Leftrightarrow t\in(1,\infty)}\) wtedy \(\displaystyle{ t-1\le x \le t}\)
\(\displaystyle{ (*)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\pmb{1}_{[0,1]}(t)\cdot\pmb{1}_{(0,t]}(x)dx+\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x}\pmb{1}_{(1,\infty)}(t)\cdot\pmb{1}_{[t-1,t]}(x)dx=\\=
\int\limits_{0}^{t}e^{-x}\pmb{1}_{[0,1]}(t)dx+\int\limits_{t-1}^{t}e^{-x}\pmb{1}_{(1,\infty)}(t)dx}\)
Dalej to sobie chyba już poradzisz.....