rozkład prawdopodobieństwa

[justyna0811]

Zmienne \(\displaystyle{ (X, Y )}\)mają łączny rozkład zadany przez \(\displaystyle{ P(X > x, Y > y)}\)\(\displaystyle{ =
exp(-x - y -max(x, y)), dla x \ge 0; y \ge 0.}\) Policz \(\displaystyle{ P(1 < X \le 4; 1 <
Y \le 2)}\)

[behemoth]

\(\displaystyle{ max(x,y)= \begin{cases} x, \ gdy \ y \le x \wedge 1<x \le 4 \wedge 1<y \le 2\\ y, \ gdy \ y > x \wedge 1<x \le 4 \wedge 1<y \le 2 \end{cases}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ P(1 < X \le 4; 1 <Y \le 2)}\) jest równe sumie dwóch całek po odpowiednich granicach całkowani (patrz powyżej)

[justyna0811]

\(\displaystyle{ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} e^{-x-y-x} + \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} e^{-x-y-y}}\)
czyli coś takego?

[behemoth]

Powinno byc tak:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} e^{-x-y-x}dydx+ \int_{2}^{4} \int_{1}^{2} e^{-x-y-x}dydx+ \int_{1}^{2} \int_{x}^{2} e^{-x-y-y}dydx}\)

Proponuję narysować to sobie...

[ja1989]

A ja mam takie by może dziwne pytanie do tego zadania...
Dlaczego aby uzyskać odpowiedź należy całkować?
czy nie wystarczy narysować prostokąt i opisać go tak, zeby można było tylko wartości podstawić do podanego wzoru?

[behemoth]

Masz na myśli takie coś
\(\displaystyle{ P(a < X < b; c < Y < d) = F(b; d)- F(a; d)-F(b; c) + F(a; c)}\)??-- 27 czerwca 2010, o 18:19 --A całki są dlatego, bo jest taki wzór \(\displaystyle{ F(x,y)=P(X<x,Y<y)= \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv}\)

[ja1989]

Tak właśnie o to mi chodziło, a co do całek, to wzór znam, ale w treści zadania jest dokładnie odwrotnie niż we wzorze- mam na myśli różnicę pomiędzy zapisami: X<x a X>x , dlatego dalej nie rozumiem jak wzór został przekształcony na potrzeby naszego zadania-tak, że możemy używać całeczek...