Gramy rzucając kostka, stawiamy na parzyste 81 razy, wygrywajac
lub przegrywajac za kazdym razem 1 zł. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze
saldo gry bedzie dodatnie po 81 grach?
ctg, pradopodobieństwo wygranej
-
wredna8888
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
ctg, pradopodobieństwo wygranej
81 prób Bernoulliego, w których potrzebujemy co najmniej 41 sukcesów (wyrzucenie parzystej liczby oczek)
A - co najmniej 41 sukcesów
\(\displaystyle{ A_{41}}\) - 41 sukcesów
\(\displaystyle{ A_{42}}\) - 42 sukcesy
...
\(\displaystyle{ P(A_k)= {n \choose k}p^kq^{n-k}}\)
n - ilość prób
k - ilość sukcesów
p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ A=A_{41} \cup A_{42} \cup ... \cup A_{81}}\)
Ponieważ zdarzenia \(\displaystyle{ A_{41}, A_{42}, ..., A_{81}}\) są parami niezależne, mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41} \cup A_{42} \cup ... \cup A_{81})=P(A_{41})+P(A_{42})+...+P(A_{81})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {81 \choose 41} \cdot ( \frac{1}{2})^{41} \cdot ( \frac{1}{2})^{40}+{81 \choose 42} \cdot ( \frac{1}{2})^{42} \cdot ( \frac{1}{2})^{39}+...+{81 \choose 81} \cdot ( \frac{1}{2})^{81} \cdot ( \frac{1}{2})^{0}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=( \frac{1}{2})^{81}( {81 \choose 41}+{81 \choose 42}+...+{81 \choose 81})}\)
Może pomóc tutaj przy dokładniejszym policzeniu wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1}}\)
A - co najmniej 41 sukcesów
\(\displaystyle{ A_{41}}\) - 41 sukcesów
\(\displaystyle{ A_{42}}\) - 42 sukcesy
...
\(\displaystyle{ P(A_k)= {n \choose k}p^kq^{n-k}}\)
n - ilość prób
k - ilość sukcesów
p - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ A=A_{41} \cup A_{42} \cup ... \cup A_{81}}\)
Ponieważ zdarzenia \(\displaystyle{ A_{41}, A_{42}, ..., A_{81}}\) są parami niezależne, mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_{41} \cup A_{42} \cup ... \cup A_{81})=P(A_{41})+P(A_{42})+...+P(A_{81})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {81 \choose 41} \cdot ( \frac{1}{2})^{41} \cdot ( \frac{1}{2})^{40}+{81 \choose 42} \cdot ( \frac{1}{2})^{42} \cdot ( \frac{1}{2})^{39}+...+{81 \choose 81} \cdot ( \frac{1}{2})^{81} \cdot ( \frac{1}{2})^{0}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=( \frac{1}{2})^{81}( {81 \choose 41}+{81 \choose 42}+...+{81 \choose 81})}\)
Może pomóc tutaj przy dokładniejszym policzeniu wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1}= {n+1 \choose k+1}}\)
-
wredna8888
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
-
sushi
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
ctg, pradopodobieństwo wygranej
\(\displaystyle{ P(x>41)= 1-P(X<41)= 1- ( \frac{X- wartosc \ oczekiwana}{odchylenie \ standardowe} < \frac{41 - wartosc \ oczekiwana}{odchylenie \ standardowe} )}\)