Matematyka.pl

Mam taką gęstość:

\(\displaystyle{ f(x) =\begin{cases}
0 \qquad\qquad\qquad \ x<-1 \\
-\frac{6}{59}(x^2-4) \ \ -1 \le x < 1\\
0 \qquad\qquad\qquad \ 1 \le x < 2 \\
-\frac{6}{59}(x-5) \quad \ \ \ 2 \le x < 3\\
0 \qquad\qquad\qquad \ x \ge 3
\end{cases}}\)

Dystrybuanta wygląda tak :

\(\displaystyle{ F(x) =\begin{cases}
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ x<-1 \\
-\frac{6}{59} \int\limits_{-1}^{x} (t^2-4)dt \qquad -1 \le x < 1\\
-\frac{6}{59} \int\limits_{-1}^{1} (t^2-4)dt \qquad \ \ \ 1 \le x < 2\qquad\qquad// = \frac{44}{59}\\
\frac{44}{59} -\frac{6}{59}\int\limits_{2}^{x} (t-5)dt \quad \ \ \ 2 \le x < 3\\
1 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ x \ge 3
\end{cases}}\)

I teraz moje pytanie jest takie. Skąd się biorą poszczególne granice całkowania w dystrybuancie. W pierwszej całce jest \(\displaystyle{ \int_{-1}^{x} (t^2-4)dt}\), w drugiej \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}(t^2-4)dt}\) (mimo, że w gęstości tam jest 0, domyślam się że po prostu dodaje się funkcję poprzednią, ale dlaczego takie granice całkowania?), i trzecia całka, podobny problem do pierwszej, dlaczego \(\displaystyle{ \int_{2}^{x} (t-5)dt}\), i czy dobrze myślę, że dodaje się poprzednią (czyli \(\displaystyle{ \frac{44}{59}}\) ).

wezmy \(\displaystyle{ 1 \le x <2}\)
wtedy

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{-1} (0) dt + \int_{-1}^{1} ( -\frac{6}{59} (t^2-4) ) dt + \int_{1}^{x} (0 ) dt}\)-- 24 czerwca 2010, 12:30 --\(\displaystyle{ F(x)= P(X<x)}\) czyli mamy caly obszar \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ X}\) a ze fukcja przyjmuje rozne postacie, to trzeba obszar podzilic na mniejsze kawalki

Z definicji dystrybuanta wyraża się całką \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt}\), więc przysługują jej wszystkie własności całki Riemanna, w szczególności własność:
Dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}}\) całkowalnej w sensie Riemanna oraz dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ c\in(a,b)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \int_a^bf(t)dt=\int_a^cf(t)dt+\int_c^bf(t)dt}\).

Ahaaa, po prostu suma poprzednich, czyli jak do 2, to:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{-1}f(t)dt + \int_{-1}^{1}f(t)dt + \int_{1}^{x}f(t)dt}\)

Dzięki, o to chodziło.