Prawdopodobinstwo wygranej

[wredna8888]

Przemek i Gosia graja w następująca grę. Wykonują rzuty moneta.
Gdy w dwóch kolejnych rzutach pojawia się orły, gra zostaje zakończona i wygrywa
Przemek. Gdy bezpośrednio po rzucie, w którym wypadła reszka, wypadnie orzeł, gra
kończy się zwycięstwem Gosi. Gdy po n rzutach nie nastąpiło rozstrzygniecie, gra kończy
się remisem.
Wyznaczyć prawdopodobieństwa zwycięstwa Przemka, zwycięstwa Gosi oraz remisu
w zależności od n­\(\displaystyle{ \ge}\)1. Obliczyć granice w/w prawdopodobieństw przy n dążącym do
nieskończoności.
W przypadku Przemka jedyna możliwość to 0rzeł 0rzeł, czyli ile jest prawd jego wygranej, 0,25?
W przypadku Gosi to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}+ \frac{2}{8}+ \frac{3}{16}+...+ \frac{k}{ 2^{k+1} }}\)
i to obliczyłam, że ta suma to \(\displaystyle{ 1}\)
Dla remisu to mi wyszedł szereg: \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} ... + \frac{1}{ 2^{k} } ...}\), ale to w granicy daje 2 i nie wiem czy tak może być
Proszę o sprawdzenie czy dobrze myślę.