przeprowadź dowód

[Blanka24]

Nie wiem jak się za ten dowód zabrać, Proszę o pomoc:
Niech \(\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{A},P)}\) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ A,A _{n} \in\mathcal{A}, n=1,2,.....}\)Wykazać, że \(\displaystyle{ (AC) \Rightarrow (W)}\), gdzie
(W): Jeżeli \(\displaystyle{ A _{i} \cap A _{j}= \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) oraz \(\displaystyle{ P(\bigcup_{n=1}^{k} A_n)=\sum_{n=1}^{k} P(A _{n}), k \in \mathbb{N}, to \ P(\bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n)=\sum_{n=1}^{ \infty }P( A_{n})}\)
(AC): Jeżeli \(\displaystyle{ A=\bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n}\) oraz \(\displaystyle{ A_{1} \subset A _{2} \subset A _{3} \subset ..., to \ P(A)= \lim_{n \to \infty }P(A _{n})}\).

[Kartezjusz]

Ciekawe.Zazwyczaj dowodzi się na odwrót...

[Blanka24]

To akurat nie ma być na odwrót, tylko tak jak napisałam:)

[Kartezjusz]

Wiemy,że sprawa zachodzi dla skończonej ilości elementów.
Weźmy ciąg zbiorów rozłącznych:
\(\displaystyle{ A_{n}}\) i weżmy zbiory
\(\displaystyle{ B_{n}}\)takie,że
\(\displaystyle{ B_{1}=A_{1}}\)
\(\displaystyle{ B_{n+1}=B_{n} \cup A_{n+1}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ B_{n}}\) jest wstępujący:
Z założenia w (W) wiemy,że
\(\displaystyle{ P(B_{n})= \sum_{n}^{i=1}P(A_{n})}\)
Przejdźmy z n do nieskończoności więc z (AC) mamy tezę...