Przygotowanie do egzaminu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tomcio_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 10 lis 2006, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 14 razy

Przygotowanie do egzaminu

Post autor: tomcio_x »

Witam!

Przygotowuję się do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa. Proszę o przedstawienie toku rozumowania przy rozwiązywaniu poniższych zadaniach, bo nie zawsze wiem jak je ugryźć albo utykam w połowie rozwiązania:

Są to zadanie z kół.

1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład standardowy normalny. Obliczyć \(\displaystyle{ EU}\), \(\displaystyle{ VarU}\) oraz wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ U}\), jeżeli \(\displaystyle{ U=e^Z}\)

2. Wydano 6000 egzemplarzy książki. Szansa na to, że egzemplarz został wadliwie oprawiony wynosi 0.002. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wadliwych egzemplarzy będzie większa od 4.

3. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a zmienna losowa Y ma rozkład wykładniczy z parametrem 2, przy czym X, Y, są niezależne. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję sumy S=X+Y. Wyznaczyć gęstość zmiennej S (skorzystać z twierdzeń o rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych).

4. Czas trwania egzaminu (w min.) ma rozkład jednostajny na odcinku [10,30]. Czasy kolejnych egzaminów są niezależnymi zmienimy losowymi. Obliczyć prawdopodobieństwo, ze w ciągu 12 godzin zostanie przeegzaminowanych co najmniej 35 studentów. Skorzystać z CTG.

5. W przedsiębiorstwie prowadzi się kontrolę każdej wyprodukowanej sztuki. Prawdopodobieństwo błędnego zakwalifikowania (odrzucenia) sztuki dobrej wynosi 0,1, a błędnego zakwalifikowania sztuki dobrej 0.003. Wybrano przypadkowo sztukę, która przeszła kontrolę z wynikiem pozytywnym, jakiej jest prawdopodobieństwo, ze jest ona zła, jeżeli wadliwość produkcji przed kontrolą wynosi 0.003?

6. Dobrać stałą \(\displaystyle{ a}\) tak, aby funkcja:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a\left(1+cos x\right, 0<x<\frac{\pi}{2} \\ 0, \ dla\ reszty \end{cases}}\)
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej i narysować jej wykres oraz obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left(X> \frac{ \pi }{4} \right)}\)

-- 18 czerwca 2010, 18:27 --
Ostatnio zmieniony 18 cze 2010, o 22:25 przez tomcio_x, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
acmilan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 50 razy

Przygotowanie do egzaminu

Post autor: acmilan »

Zadanie 1.

Gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) to \(\displaystyle{ g_{Z}(t)= egin{cases} 1 dla t in [0,1) \ 0 dla t
otin [0,1)end{cases}}\)

Wartość oczekiwaną i wariancję liczysz z definicji, czyli:

\(\displaystyle{ EU= \int_{- \infty }^{ \infty }e^{t}g_{Z}(t)dt= \int_{0}^{1}e^{t}dt=[e^{t}]_{t=0}^{1}=e-1}\)

\(\displaystyle{ VarU=EU^{2}-(EU)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (EU)^{2}}\) masz z podniesienia do kwadratu \(\displaystyle{ EU}\), policzonego przed chwilą

\(\displaystyle{ EU^{2}=\int_{- \infty }^{ \infty }(e^{t})^{2}g_{Z}(t)dt=\int_{0}^{1}e^{2t}dt=[ \frac{1}{2} e^{2t}]_{t=0}^{1}= \frac{1}{2}e^{2}- \frac{1}{2}}\)

Gęstość zmiennej \(\displaystyle{ U}\) liczysz ze wzoru na gęstość podstawienia. Tutaj: \(\displaystyle{ U=\varphi(Z)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi(x)=e^{x}}\)
Wzór na gęstość podstawienia: \(\displaystyle{ g_{U}(t)=g_{Z}( \varphi^{-1}(t)) \cdot |(\varphi^{-1})'(t)|}\)
\(\displaystyle{ \varphi^{-1}(t)=lnt}\)
\(\displaystyle{ (\varphi^{-1})'(t)= \frac{1}{t}}\)
\(\displaystyle{ g_{U}(t)=g_{Z}(lnt) cdot | frac{1}{t} |= egin{cases} |frac{1}{t}| dla t in [1,e) \ 0 dla t
otin [1,e) end{cases}}\)


Pozdrawiam
tomcio_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 10 lis 2006, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 14 razy

Przygotowanie do egzaminu

Post autor: tomcio_x »

Kurcze, dlacszy ciąg wiedziałem jak zrobic, nie wiedziałe jak ugryżć standardowy rozkład normalny. Jak będzie wyglądała dystrybuanta dla \(\displaystyle{ Z}\)?
Awatar użytkownika
acmilan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 15:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa-Praga
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 50 razy

Przygotowanie do egzaminu

Post autor: acmilan »

Czy \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład normalny czy jednostajny? Wydaje mi się, że pisałeś, że \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład jednostajny.

Jeśli \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład normalny, to zadanie robisz identycznie, tylko masz:
\(\displaystyle{ g_{Z}(t)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} }e^{\frac{-t^{2}}{2}}}\)

Problem jest taki, że ta funkcja nie ma funkcji pierwotnej, czyli nie policzysz dystrybuanty (chyba że metodami numerycznymi, ale one są tylko przybliżeniem).

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ