Proszę jeśli ktoś potrafi o szczegółowe rozwiązanie zadania. Jego rozwiązanie jest mi bardzo potrzebne, więc proszę pomóżcie ;-*
Chcemy wykonać tyle rzutów kostką, aby prawdopodobieństwo wyrzucenia mniej niż 15 szóstek było mniejsze niż 0,1. Sprawdzić, że 180 rzutów wystarczy.
Ile rzutów wystarczy?
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Ile rzutów wystarczy?
Schemat Bernoulliego Mamy pewną ilość prób i chcemy w niej odnieść ileś sukcesów, przy czym w każdej próbie prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo.
\(\displaystyle{ A_1}\) - prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej szóstki w n rzutach ze zwracaniem.
n - ilość prób
k - ilość sukcesów
p -prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose k}p^kq^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q=1-p=1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ A_0}\) - prawdopodobieństwo wylosowania zera szóstek w n rzutach ze zwracaniem.
\(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q=1-p=1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6}}\)
itd.
A - prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 14 szóstek w n rzutach ze zwracaniem.
\(\displaystyle{ A=A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_{14}}\)
Ponieważ wszystkie te zdarzenia elementarne są parami rozłączne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie ich prawdopodobieństw:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_0)+P(A_1)+…+P(A_{14})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose 0} \cdot ( \frac{1}{6})^0 \cdot ( \frac{5}{6})^n+{n \choose 1} \cdot ( \frac{1}{6})^1 \cdot ( \frac{5}{6})^{n-1}+…+{n \choose 14} \cdot ( \frac{1}{6})^{14} \cdot ( \frac{5}{6})^{n-14}}\)
Tak można zapisać ogólnie to prawdopodobieństwo. Aby się dowiedzieć, ile rzutów potrzeba, żeby prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,1, należy rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(A)<0,1 \\ n \in \{14, 15, …\}\end{cases}}\)
Aby sprawdzić, czy 180 rzutów wystarczy, należy wstawić n=180 i policzyć.
\(\displaystyle{ A_1}\) - prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej szóstki w n rzutach ze zwracaniem.
n - ilość prób
k - ilość sukcesów
p -prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose k}p^kq^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q=1-p=1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ A_0}\) - prawdopodobieństwo wylosowania zera szóstek w n rzutach ze zwracaniem.
\(\displaystyle{ k=0}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q=1-p=1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6}}\)
itd.
A - prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 14 szóstek w n rzutach ze zwracaniem.
\(\displaystyle{ A=A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_{14}}\)
Ponieważ wszystkie te zdarzenia elementarne są parami rozłączne, prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie ich prawdopodobieństw:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A_0)+P(A_1)+…+P(A_{14})}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose 0} \cdot ( \frac{1}{6})^0 \cdot ( \frac{5}{6})^n+{n \choose 1} \cdot ( \frac{1}{6})^1 \cdot ( \frac{5}{6})^{n-1}+…+{n \choose 14} \cdot ( \frac{1}{6})^{14} \cdot ( \frac{5}{6})^{n-14}}\)
Tak można zapisać ogólnie to prawdopodobieństwo. Aby się dowiedzieć, ile rzutów potrzeba, żeby prawdopodobieństwo było mniejsze od 0,1, należy rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(A)<0,1 \\ n \in \{14, 15, …\}\end{cases}}\)
Aby sprawdzić, czy 180 rzutów wystarczy, należy wstawić n=180 i policzyć.