maksymalizacja prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
QAZ123*
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 maja 2010, o 14:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

maksymalizacja prawdopodobieństwa

Post autor: QAZ123* »

Mam takie zadanie:

W ośrodku badawczym pracuje \(\displaystyle{ 40}\) naukowców: \(\displaystyle{ 20}\) kobiet i \(\displaystyle{ 20}\) mężczyzn. Wśród nich jest \(\displaystyle{ 3}\) szpiegów (\(\displaystyle{ 2}\) mężczyzn i \(\displaystyle{ 1}\) kobieta, ale nie wiemy którzy to są). Mamy wybrać \(\displaystyle{ 20}\) osób do zespołu.
Ilu mężczyzn i ile kobiet trzeba wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo, że w zespole nie znajdzie się żaden szpieg?


Próbowałam to robić tak:
\(\displaystyle{ x}\)-ilość wybranych mężczyzn
\(\displaystyle{ 20-x}\) -ilość wybranych kobiet

\(\displaystyle{ A}\): zdarzenie: w zespole nie znajdzie się żaden szpieg
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{18 \choose x} \cdot {19 \choose 20-x} }{ {40 \choose 20} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ x \in [1,18]}\)

i skoro mamy, że \(\displaystyle{ P(A) \rightarrow max}\)

to \(\displaystyle{ (18-x)! \cdot x! \cdot (20-x)! \cdot (x-1)! \rightarrow min}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in [1,18]}\)

Jak znaleźć minimum takiego wyrażenia???
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

maksymalizacja prawdopodobieństwa

Post autor: Inkwizytor »

Ja bym najpierw skupił się na maksymalizacji licznika (ograniczając ilośc przypadków do 9) wykorzystując wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n - k}}\)
dla x= 1 pierwszy czynnik w liczniku wynosi \(\displaystyle{ {18 \choose 1} = {18 \choose 17}}\) czyli dla x=17
Sprawdzamy, który z nich (x=1 czy x=17) ma większy drugi czynnik.
Wychodzi że \(\displaystyle{ {19 \choose 19} < {19 \choose 3}}\) czyli x=17 zostaje a x=1 odpada.
Potem zostaje nam 9 liczników do porównania. Jest to już wykonalne

p.s. osobno trzeba sprawdzić x=18 ale na pierwszy rzut oka nie wygląda mi na maksimum
ODPOWIEDZ