Mam takie zadanie:
W ośrodku badawczym pracuje \(\displaystyle{ 40}\) naukowców: \(\displaystyle{ 20}\) kobiet i \(\displaystyle{ 20}\) mężczyzn. Wśród nich jest \(\displaystyle{ 3}\) szpiegów (\(\displaystyle{ 2}\) mężczyzn i \(\displaystyle{ 1}\) kobieta, ale nie wiemy którzy to są). Mamy wybrać \(\displaystyle{ 20}\) osób do zespołu.
Ilu mężczyzn i ile kobiet trzeba wybrać, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo, że w zespole nie znajdzie się żaden szpieg?
Próbowałam to robić tak:
\(\displaystyle{ x}\)-ilość wybranych mężczyzn
\(\displaystyle{ 20-x}\) -ilość wybranych kobiet
\(\displaystyle{ A}\): zdarzenie: w zespole nie znajdzie się żaden szpieg
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{18 \choose x} \cdot {19 \choose 20-x} }{ {40 \choose 20} }}\)
gdzie \(\displaystyle{ x \in [1,18]}\)
i skoro mamy, że \(\displaystyle{ P(A) \rightarrow max}\)
to \(\displaystyle{ (18-x)! \cdot x! \cdot (20-x)! \cdot (x-1)! \rightarrow min}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in [1,18]}\)
Jak znaleźć minimum takiego wyrażenia???
maksymalizacja prawdopodobieństwa
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
maksymalizacja prawdopodobieństwa
Ja bym najpierw skupił się na maksymalizacji licznika (ograniczając ilośc przypadków do 9) wykorzystując wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n - k}}\)
dla x= 1 pierwszy czynnik w liczniku wynosi \(\displaystyle{ {18 \choose 1} = {18 \choose 17}}\) czyli dla x=17
Sprawdzamy, który z nich (x=1 czy x=17) ma większy drugi czynnik.
Wychodzi że \(\displaystyle{ {19 \choose 19} < {19 \choose 3}}\) czyli x=17 zostaje a x=1 odpada.
Potem zostaje nam 9 liczników do porównania. Jest to już wykonalne
p.s. osobno trzeba sprawdzić x=18 ale na pierwszy rzut oka nie wygląda mi na maksimum
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n - k}}\)
dla x= 1 pierwszy czynnik w liczniku wynosi \(\displaystyle{ {18 \choose 1} = {18 \choose 17}}\) czyli dla x=17
Sprawdzamy, który z nich (x=1 czy x=17) ma większy drugi czynnik.
Wychodzi że \(\displaystyle{ {19 \choose 19} < {19 \choose 3}}\) czyli x=17 zostaje a x=1 odpada.
Potem zostaje nam 9 liczników do porównania. Jest to już wykonalne
p.s. osobno trzeba sprawdzić x=18 ale na pierwszy rzut oka nie wygląda mi na maksimum