Zadania z kolokwium Prawdopodobieństwo z kombinatoryką

[Ma?ko]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań i wytłumaczenie jak takie zadania się robi


1. Praca mechanika polega na zabezpieczeniu technicznej sprawności trzech maszyn M1,M2,M3 w ciągu odcinka czasu. W czasie tym każda z maszyn wymaga interwencji mechanika lub pracuje niezawodnie.
Zakładając, że wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne:
(a) (3 pkt) zbudować przestrzeń zdarzeń elementarnych,
(b) (2 pkt) znaleźć zbiór zdarzeń,
(c) (2 pkt) określić prawdopodobieństwo P,
(d) (2 pkt) za pomocą zdarzeń elementarnych opisać zdarzenie B - dokładnie dwie maszyny potrzebowały interwencji mechanika.
2. (4 pkt) W dużym lotku losowanych jest 6 spośród 49 liczb. Ile razy wzrasta prawdopodobieństwo trafienia
pięciu liczb z sześciu gdy gracz zamiast wyboru 6 liczb ma możliwość wybrania 10 liczb?
3. (5 pkt) W fizyce statystycznej rozważa się rozkład l<: cząstek W n elementarnych obszarach zwanych komórkami. Statystyka Bosego–Einsteina dotyczy cząstek nierozróżnialnych między sobą gdy liczba cząstek w danej komórce jest dowolna. Zakładając, że wszystkie dopuszczalne rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne,
znaleźć prawdopodobieństwo tego, że m cząstek znajdzie się w jednej z n komórek.
4. (5 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia różnej liczby oczek, pod warunkiem, że suma oczek wynosi l1?
5. Wykonujemy pomiary trzema przyrządami, z których jeden jest nieco rozregulowany. Przy wykonywaniu
pomiaru sprawnym urządzeniem prawdopodobieństwo otrzymania błędu pomiaru przewyższającego tolerancję wynosi 0,03; prawdopodobieństwo to dla przyrządu niesprawnego wynisi 0,3. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wynik pomiaru losowo wziętym przyrządem:
(a) (3 pkt) przewyższa tolerancję.
(b) (6 pkt) który przewyższa tolerancję, jest wykonany rozregulowanym przyrządem.


ZESTAW 2.
1. Opakowanie zawiera 2 sztuki towaru. W użytkowaniu każda z tych sztuk może spełniać zakładane wymagania albo tych wymagań nie spełniać. Zakładając, że wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne:
(a) (3 pkt) zbudować przestrzeń zdarzeń elementarnych,
(b) (2 pkt) znaleźć zbiór zdarzeń,
(c) (2 pkt) określić prawdopodobieństwo zdarzeń z punku b.
2. (4 pkt) W dużym lotku losowanych jest 6 spośród 49 liczb. Ile razy Wzrasta prawdopodobieństwo trafienia
trzech liczb z sześciu gdy gracz zamiast wyboru 6 liczb ma możliwość wybrania 10 liczb?
3. (5 pkt)Pięciu studentów powtarzających 1. rok studiów wybiera losowo, każdy niezależnie od pozostałych, jedną z 3 grup. Zakładając, że wszystkie rozmieszczenia tych studentów są jednakowo prawdopodobne, znaleźć prawdopodobieństwo tego, że:
(a) wszyscy znajdą się w tej samej grupie,
(b) w jedej z grup znajdzie się dokładnie jeden student,
4. (5 pkt) Z talii 52 kart losujemy 5. Obliczyć prawdop. wylosowania 2 kierów, jeżeli wiadomo, że wśród
wylosowanych kart nie ma ani pików ani trefli
5. Pewien towar produkują 3 zakłady Prawdopodobieństwo wyprodukowania przez te zakłady towaru pierwszej jakości wynosi odpowiedni: 0.97, 0.9, 0.86. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że:
(a) (3 pkt) losowo wzięta sztuka towaru, spośród trzech sztuk pochodzących z różnych zakładów, jest pierwszej jakości,
(b) (6 pkt) sztuka towaru która jest pierwszej jakości, wykonana jest przez 1 zakład.


Interesują mnie bardziej zadania z zestawu drugiego, ale jak ktoś mógłby mi pomóc ze wszystkimi to byłoby fajnie.
Mam teraz drugą poprawkę, więc muszę to zrozumieć żeby zaliczyć - proszę o pomoc

Z góry dzięki

Pozdrawiam, Maciek

[kolorowe skarpetki]

Zadanie 5 (Zestaw 2)

(A) prawdopodobieństwo całkowite

A - zdarzenie polegające na wylosowaniu towaru pierwszej jakości
A|I - zdarzenie polegające na wylosowaniu towaru pierwszej jakości, pod warunkiem, że wyprodukował go pierwszy zakład
A|II - zdarzenie polegające na wylosowaniu towaru pierwszej jakości, pod warunkiem, że wyprodukował go drugi zakład
A|III - zdarzenie polegające na wylosowaniu towaru pierwszej jakości, pod warunkiem, że wyprodukował go trzeci zakład

\(\displaystyle{ P(I)=P(II)=P(III)= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A|I)=0,97,P(A|II)=0,9,P(A|III)=0,86}\)

\(\displaystyle{ P(A)=P(A|I) \cdot P(I) + P(A|II) \cdot P(II)+P(A|III) \cdot P(III)}\)

(B) wzór Bayesa

I|A - zdarzenie polegające na wylosowaniu towaru pierwszej jakości, wyprodukowanego przez pierwszy zakład

\(\displaystyle{ P(I|A)=\frac{P(A|I) \cdot P(I)}{P(A)}}\)

[Ma?ko]

o nie :/

na poprawce było podobne zadanie i zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ P(B1)=0,97\\
P(B2)=0,9\\
P(B3)=0,86\\
P(A|B1)=P(A|B2)=P(A|B3)=1/3 \\
\\i \ wtedy:\\
P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + P(A|B3)*P(B3)=\frac{1}{3} *0,97 + \frac{1}{3} *0,9 + \frac{1}{3} *0,86}\)

wychodzi na to, że wynik będzie ten sam, ale... (zapis i interpretacja?)

a w podpunkcie b)
\(\displaystyle{ P(A|B1)= \frac{P(B1|A)*P(A)}{P(B1)} = \frac{0,33* \frac{1}{3} }{0,97}}\)
(w tej chwili nie wiem dlaczego za P(A) przyjąłem 1/3, a za P(B1|A)=0,97*0,33 ...)


źle, tak?