wyznaczyć wartości parametrów a i b

[mith]

Dystrybuanta F dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y0 dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ F(x,y)= egin{cases} 0 , (x,y) in (- infty ;+infty) imes (-infty;0) \ a , (x,y) in (-infty;0) imes [0; infty) \ 1/2xy^2, (x,y) in [0;2) imes[0;1) \ 1/2x , (x,y) in [0;2) imes[1;infty) \ y^2, (x,y) in [2;infty) imes [0;1) \ b , (x,y) in [2;infty) imes [1;infty)end{cases}}\)



zacząłem od narysowania sobie tego, oraz wyznaczenia:
\(\displaystyle{ P((0,0))=1/2xy^2-a}\)
\(\displaystyle{ P((0,1))=1/2x-1/2xy^2}\)
\(\displaystyle{ P((2,1))= b+1/2xy^2-1/2x-y^2}\)
\(\displaystyle{ P((2,0))= y^2-1/2xy^2}\)

no i tutaj zaczynają się schody.. do tej pory robiąc tego typu zadania w dystrybuancie miałem zwykłe liczby, tutaj gdy pojawia się x i y nie wiem co mam robic.. normalnie zrobił bym tak:
\(\displaystyle{ 1/2xy^2-a \in <0,1> \Rightarrow a \le 1/2xy^2}\) podobnie z b.


pytanie 2: dystrybuanty brzegowe wyznaczam w tym przypadku według definicji, licząc granicę?

był bym bardzo wdzięczny za każdego rodzaju wskazówki.
pozdrawiam Mith.

[quniq]

Pierwszy post na forum
Zapewne chodzi o wyznaczenie parametrów a i b oraz dystrybuan brzegowych.
Więc od początku:

Przypomnij sobie własności dystrybanty:

Kod: Zaznacz cały

dystrybuanta jet niemalejąca i nieujemna

Z tego powinieneś wyznaczyć oba parametry.
Z punktów skokowych najważniejsze są
(0,0) i (2,1) (resztę możesz sprawdzić, czy dobrze rozpisałeś pstwa i czy obliczenia se zgadzają).


chociaż to nie do końca jest poprawny zapis. Powinieneś napisać \(\displaystyle{ P(t)= F(t)- \lim_{ x\to t}F(x)}\), ale to chyba nie jest straszne przestępstwo w tym przypadku.
t - zmienna pomocnicza, nie wiem jak wstawić index dolny ;] W każdym razie t, to jest punkt, dla którego szukamy pstwa. I dystrybuanta jednowymiarowa, bo tak szybciej, a Ty się domyślisz, że podobnie trzeba dla wielowymiarowej

W \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) masz \(\displaystyle{ P(0,0)=0-a}\), a z przytoczonych własności dystrybuanty wynika, że a=0, ponieważ \(\displaystyle{ 1/2 xy^2 = 0}\), a dystrybuanta nie jest malejąca, ani ujemna \(\displaystyle{ => a=0}\)

Podobnie w \(\displaystyle{ (2,1)}\)
\(\displaystyle{ P(2,1)=b+ 1/2 * 2 * 1^2 -1/2*2 -1^2= b - 1}\)
Pstwo nie może być mniejsze od zera, ani większe od 1, zatem ile wynosi b? 1

Moim zdaniem szybciej i wygodniej jest to zrobić na rysunku. Narysuj sobie OXY, podziel ja na przedziały jak w dystrybuancie, napisz na każdym z nich wzór dystybuanty i zaobserwuj jak się zachowuje na krańcach tych zbiorów. Wyjdzie to samo, tylko 2 razy szybciej (przynajmniej w tym wypadku, nie musiał bym używać latexa ). Widzisz, że dystrybuanta dla \(\displaystyle{ x->0}\) wynosi zero, więc po lewej stronie też musisz mieć zero, dzięki czemu a=0. Teraz b. Przejdź do x>2. Dla \(\displaystyle{ y->1}\) dystrybuanta wynosi 1, więc b też jest 1, ponieważ jest nad tą cześcią "obrazka".

Co do dystrybuant brzegowych, to tak. Zwykły limesik załatwi sprawę i dla dyskretnych i dla ciągłych. Całka, lub suma ma zastosowanie przy gęstościach brzegowych.

Tak poza tym, to widzę, że masz ten sam problem co ja: przestawić się na inne myslenie Nie tylko w matmie

Pozdrawiam elkę

[mith]

z wyznaczeniem a i b, faktycznie masz racje, ale przy wyznaczeniu dystrybuant brzegowych mam problem, podstawiajac do wzoru:
\(\displaystyle{ Fx= \lim_{ y \to \infty } F(x,y)}\)
w 2 miejscach wychodzi nieskończoność co chyba niezabardzo powinno znajdować się w dystrybuancie..

[quniq]

Zauważ, że gdy uciekasz z y->infinity, to musisz wziąć wzór na dystrybuantę z wyższego przedziału, czyli tutaj wzór na dystrybuantę powyżej linii y=1. Prawdopodobnie brałeś wzory
dla \(\displaystyle{ y\in[0,1]}\)
a powinieneś
\(\displaystyle{ y\in[1, \infty ]}\)
I nie ma prawa wyjść nieskończoność