rozkład o gęstości

[repoka]

Nie mogę się odnaleźć w całkowaniu :/ Proszę o pomoc więc..
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{20\pi}exp[ -\frac{1}{2}( \frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{25} ) ]}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P((X,Y) \in D)}\) gdzie \(\displaystyle{ D=\{(x,y): \frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{25}y^2 \le 1 \}}\)

[luka52]

Przy całkowaniu wprowadź nowe zmienne: \(\displaystyle{ (x,y) = (2 r \cos \varphi, 5 r \sin \varphi)}\).

[repoka]

A możesz mi jeszcze napisać jak będzie zmieniało się \(\displaystyle{ \varphi \ \mbox{i} \ r}\) ??

[luka52]

\(\displaystyle{ (r, \varphi ) \in [0,1] \times [0, 2\pi]}\)

[repoka]

Czy to będzie tak:
\(\displaystyle{ P((X,Y) \in D)=P( \frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{25}y^2 \le 1)=\iint_{\frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{25}y^2 \le 1}\frac{1}{20\pi}e^{[ -\frac{1}{2}( \frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{25} ) ]}dxdy= \left| x=2rcos\varphi, y=5rsin\varphi\right|= \frac{1}{20\pi} \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{1}r e^{- \frac{r^2}{2} }dr= -\frac{1}{20\pi}2\pi \left[ e^{- \frac{r^2}{2}\right] _{0} ^{1} =- \frac{1}{10}( e^{- \frac{1}{2} }+1)}\)
Tak ma wyjść ? Bo coś mi się nie wydaje... :/

[luka52]

Nie. Raz, że jakobian masz zły, a dwa wynik nie może wyjść ujemny.

[repoka]

Ok jakobian \(\displaystyle{ 10r}\), zapomniałam \(\displaystyle{ 10}\). Ale wynik wychodzi ujemny. Nie wiem gdzie jest błąd.. :/

[luka52]

\(\displaystyle{ -\frac{1}{20\pi}2\pi \left[ e^{- \frac{r^2}{2}\right] _{0} ^{1} =- \frac{1}{10}( e^{- \frac{1}{2} }+1)}\)
To przejście jest złe.

[repoka]

Powinno być:
\(\displaystyle{ =- \left[ e^{- \frac{r^2}{2}\right] _{0} ^{1}=-(e ^{-{ \frac{1}{2} }} -1)=-e^{-{ \frac{1}{2} }}+1=1-e^{-{ \frac{1}{2} }}.}\)
Tak ?

[luka52]

Tak.

[repoka]

Dzięki serdeczne