zmienne niezależne o rozkładzie Poissona

[withdrawn]

Niech \(\displaystyle{ N_{1} , N_{2}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami odpowiednio równymi \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 5}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_{2}=12}\).
a)Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ N_{1} + N_{2}}\)?

moj rozkład po przeksztalceniach dochodzi do nastepujacego wyniku:
\(\displaystyle{ \frac {(\lambda_{1} + \lambda_{2})^{k} }{k!} \cdot e^{-(\lamda_{1} + \lambda_{2})}\)
moglby ktos to sprawdzic?... bo moze w ogole zle mysle...

b) Oblicz \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } k^{2}P(N_{1} + N_{2} = k )}\)?
korzystalam tu na wzor z wartosci oczekiwanej ,gdzie dla:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } k P(N=k) = \lambda}\)
a wiec w moim przypadku wyszloby \(\displaystyle{ 1/2 \lambda}\) ? eh...
prosze o pomoc,wskazowki...

[kuch2r]

jeżeli \(\displaystyle{ \xi,\eta}\) sa niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozkladzie Poissona, z odpowiednimi parametrami\(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\), to zmienna \(\displaystyle{ \xi+\eta}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_1+\lambda_2}\)
Ponadto, w przypadku zmiennej losowej \(\displaystyle{ \zeta}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\), wiemy że
\(\displaystyle{ E\zeta=\lambda}\) oraz \(\displaystyle{ D^2\zeta=\lambda}\)
Dalej
\(\displaystyle{ D^2\zeta=E\zeta^2-(E\zeta)^2}\)
Stąd w przykładzie b) wartość tej sumy wynosi
\(\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2 + (\lambda_1+\lambda_2)^2}\)