funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
repoka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 13 maja 2010, o 13:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: repoka »

Proszę o pomoc w obliczeniu funkcji charakterystycznej rozkładu geometrycznego: \(\displaystyle{ P(X=k)=pq^{k-1}}\) k=1,2,3...
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: kuch2r »

\(\displaystyle{ \varphi_X(t)=E(e^{itX})=\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itk}p\cdot (1-p)^{k-1}=\frac{p}{1-p}\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{itk}(1-p)^{k}=\frac{p}{1-p}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(e^{it}(1-p)\right)^{k}=\frac{p}{1-p}\cdot \frac{e^{it}(1-p)}{1-e^{it}(1-p)}=\frac{pe^{it}}{1-e^{it}(1-p)}}\)
+ dochodzi fakt wykazania zbieżności ostatniej sumy do finalnej postaci..
repoka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 13 maja 2010, o 13:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: repoka »

I czy ostatecznie ma wyjść: \(\displaystyle{ \frac{p}{1-e^{it}(1-p)}}\) ??
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: kuch2r »

repoka pisze:I czy ostatecznie ma wyjść: \(\displaystyle{ \frac{p}{1-e^{it}(1-p)}}\) ??
nie, w ostateczności wynik ma wyjść taki jak podałem...
twój wynik jest poprawny w przypadku, kiedy nośnik rozkładu jest definiowany w postaci:
\(\displaystyle{ k=0,1,\ldots}\)
repoka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 13 maja 2010, o 13:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: repoka »

Zatem chodzi o to, że \(\displaystyle{ |(1-p)e^it|=(1-p)|e^it|=(1-p) \le 1}\) bo \(\displaystyle{ p>0}\).
Więc ten szereg \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(e^{it}(1-p)\right)^{k}}\)jest zbieżny jako szereg geometryczny. O to chodziło ?
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

funkcja charakterystyczna rozkładu geometrycznego

Post autor: kuch2r »

o to chodzilo..
ODPOWIEDZ