rozkład zmiennej losowej

[repoka]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu. Tylko jeśli się da to jakiś szczegółowy opis..
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2, ... , X_n}\) są niezależne i wszystkie mają rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda >0}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+...+X_n.}\) Funkcja charakterystyczna rozkładu Poissona ma postać: \(\displaystyle{ \varphi(t)=e^{\lambda(e^{it} -1}).}\)
Będę bardzo bardzo wdzięczna za pomoc.

[kuch2r]

Podpowiedz, jeżeli
\(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+\ldots+X_n}\) gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzi, wówczas:
\(\displaystyle{ \varphi_{Y}(t)=\left(\varphi_{X_1}(t)\right)^{n}}\)

[repoka]

Czyli wystarczy \(\displaystyle{ \varphi(t)=e^{\lambda(e^{it} -1})}\) podnieść do n-tej potęgi ? Czy trzeba to jakoś wyliczyć jeszcze ?

[kuch2r]

no musisz podnieść do potęgi i stwierdzić jaki rozkład otrzymałeś..

[repoka]

\(\displaystyle{ =e^ \left (\lambda_1+\lambda_2+ ... + \lambda_n)(e^{it}-1) \right}\)
Tak ma wyjść? I to też jest rozkład Poissona. Wystarczy tyle czy jeszcze coś potrzeba ?

[kuch2r]

Chwila..., w treści zadania masz podane że każda ze zmiennych pochodzi z rozkład Poissona z tym samym parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), zatem dlaczego \(\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2\ldots+\lambda_n}\)?
chyba wystarczająca już pomogłem, chwila zastanowienia napewno doprowadzi Cie do dobrego rozwiazania

[repoka]

No tak. Czyli \(\displaystyle{ n\lambda}\) tam ma być ? Ostatnia podpowiedź

[kuch2r]

tak