Moment stopu.

[jetix]

Momentem stopu względem filtracji \(\displaystyle{ \{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq 0}}\) nazywamy zmienną losową \(\displaystyle{ \tau(\omega)}\), gdy \(\displaystyle{ \{\omega : \tau(\omega)\leq t\}\in \mathcal{F}_{t}}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\geq 0}\).

Pytanie:

Niech \(\displaystyle{ \{X_{t}\}_{t\geq 0}}\) będzie procesem stochastycznym o ciągłych trajektoriach, adaptowanym do filtracji \(\displaystyle{ \{\mathcal{F}_{t}\}_{t\geq 0}}\). Niech \(\displaystyle{ \tau}\) będzie momentem pierwszej wizyty w zbiorze borelowskim \(\displaystyle{ B}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem stopu.

Problemy:

\(\displaystyle{ \{X_{t}\}_{t\geq 0}}\) - ma ciągłe trajektorie.

Gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem otwartym bądź domkniętym to \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem stopu. Ale czy dla dowolnego zbioru borelowskiego (elementu sigma algebry generowanej przez zbiory borelowskie) to jest prawdą?

Dzięki za pomoc

[jetix]

Podbijam, jakieś pomysły?

[jetix]

Ale czy dla dowolnego zbioru borelowskiego (elementu sigma algebry generowanej przez zbiory borelowskie) to jest prawdą?

Owszem, to jest prawda. (To dla tych którym przyjdzie się zmierzyć kiedyś z tym problemem)