Wariancja zmiennej losowej Z.

[Prezior]

Witam!
Dane:
\(\displaystyle{ X: N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ Y: P(Y=-1)=P(Y=1)=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne.
\(\displaystyle{ Z=X+Y}\)

\(\displaystyle{ D^2(Z) = ?}\)

I doszedłem do tego,że:
\(\displaystyle{ E(Z) = E(X+Y)}\), stąd ponieważ zm. los. są nielazeżne,
\(\displaystyle{ E(Z) = E(X) + E(Y)}\), a jak dobrze myślę, \(\displaystyle{ E(X) = 0}\), więc \(\displaystyle{ E(Z) = E(Y)}\)?
I na tym miejscu stoję, bo nie wiem jak obliczyć \(\displaystyle{ E(Y)}\)..

[Yaco_89]

z tego, co napisałeś, wynika, że Y ma rozkład dwupunktowy, więc obliczenie EY nie powinno być problemem .

[Kamil_B]

Garść wskazówek:

Ukryta treść:    

1. \(\displaystyle{ EY=0}\) ( Y jest zmienna losową symetryczną)
2. \(\displaystyle{ VarZ=E(Z^2)-(EZ)^2}\)
3. \(\displaystyle{ E(XY)=EX \cdot EY}\) ( wobec niezależności X oraz Y)

I jeszcze uwaga:

\(\displaystyle{ E(Z) = E(X+Y)}\), stąd ponieważ zm. los. są nielazeżne,
\(\displaystyle{ E(Z) = E(X) + E(Y)}\),

To wynika z liniowości całki,a nie z niezależności \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\).

[Prezior]

Więc:

\(\displaystyle{ D^2(Z) = E((X+Y)^2)=E(X^2) + E(Y^2)}\)
?

I dalej stoję ...

[Kamil_B]

No to już w zasadzie po robocie , bo:
1. \(\displaystyle{ E(X^{2})=VarX+(EX)^{2}}\)
2. Natomiast \(\displaystyle{ EY^{2}=1}\) ( łatwo policzyć ) .

[Prezior]

Czyli:

\(\displaystyle{ E(X^2)= 1 + 0 = 1}\)
\(\displaystyle{ E(Y^2) = 1}\) - właśnie tak patrze, ale jakbyś mógł powiedzieć jak to łatwo obliczyć..

Więc \(\displaystyle{ D^2(Z) = 2 ?}\)