prawdopodobieństwo ale warunkowe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
emilia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 maja 2010, o 17:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: emilia17 »

A więc tak:)
dane mam takie, Prawdopodobieństwo że czujka pożarowa w chwili pożaru zadziała=0,99
Prawdopodobieństwo że zadziała bez powodu=0,03, prawdopodobieństwo pożaru 0,002.

1. prawdopodobieństwo, że w ogóle czujnik zadziała
2. system alarmowy działa. Jakie prawdopodobieństwo, że uruchomił ją pożar?
3. duży dym, system nie działa. Prawdopodobieństwo, że dym traktowany jest jako pożar
4. prawdopodobieństwo, że czujka nie zadziała.

Jeśli możecie rozpiszcie ))
filip.wroc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 17 sty 2010, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Pomógł: 13 razy

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: filip.wroc »

Zdarzenia elementarne:
Czujka zadziała przy zaistnieniu pożaru - A ; P(A)= 0,99.
Czujka zadziała bez powodu - B ; P(B) = 0,03.
Pożar - C ; P(C) 0,002.

Zdarzenia zlozone:
1.prawdopodobieństwo że czujka w ogóle zadziała
\(\displaystyle{ A \cup B\\
P(A \cup B) = P(A) + P(B)}\)

2. czujka działa, jakie prawdopodobieństwo, że czujka wykryła istniejący pożar
\(\displaystyle{ A \cap B\\
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}\)

3. widać dym, ale czujka nie działa, jakie prawdopodobieństwo, że dym oznacza pożar
4. prawdopodobieństwo braku działania czujki.
\(\displaystyle{ (A \cup B)'\\
P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)}\)


Nad trzecim jeszcze mysle, to pisalem z palca. Zaraz doedytuje i zrobie trzecie.

==EDIT==
Trzecie mozna wyrazic (tak mysle, niech mnie ktos w razie czego poprawi) jako "jest pozar, ale czujka sie spsula i nie wykrywa go".
\(\displaystyle{ C \cap A'\\
P(C \cap A') = P(C) \cdot P(A') = P(C) \cdot (1 - P(A))}\)
emilia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 maja 2010, o 17:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: emilia17 »

Super:)
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: mat_61 »

Wskazówki:

1) Prawdopodobieństwo całkowite - wg standardowych oznaczeń:

\(\displaystyle{ P(A/B_{1})}\) - prawdopodobieństwo zadziałania czujnika w czasie pożaru
\(\displaystyle{ P(B_{1})}\) - prawdopodobieństwo pożaru
\(\displaystyle{ P(A/B_{2})}\) - prawdopodobieństwo zadziałania czujnika przy "braku pożaru"
\(\displaystyle{ P(B_{2})}\) - prawdopodobieństwo "braku pożaru"

2) Wzór Bayesa (w nawiązaniu do przykładu 1)

3) Nie jest dla mnie jasne sformułowanie Prawdopodobieństwo, że dym traktowany jest jako pożar? - przez kogo (przez co) jest tak traktowany? (fakt, że czujnik potraktował dym jako pożar możemy stwierdzić tylko wtedy gdy czujnik zadziała pomimo, że pożaru faktycznie nie ma).

Jeżeli więc system (czujnik) nie działa, to są tylko dwie możliwości:
- nie działa bo nie ma pożaru
- nie działa pomimo, że jest pożar
O którą możliwość chodzi w sformułowaniu zadania dla tego punktu?

4) Tak jak zadanie 1) a najwygodniej jako zdarzenie przeciwne do 1)
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: mat_61 »

To co napisał filip.wroc to niestety nie jest poprawne .

Oto kilka przykładów:
filip.wroc pisze:Zdarzenia elementarne:
Czujka zadziała przy zaistnieniu pożaru - A ; P(A)= 0,99.
Czujka zadziała bez powodu - B ; P(B) = 0,03.
Pożar - C ; P(C) 0,002.

Zdarzenia zlozone:
1.prawdopodobieństwo że czujka w ogóle zadziała
\(\displaystyle{ A \cup B\\
P(A \cup B) = P(A) + P(B)}\)
czyli:

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B)=0,99+0,03=1,02 ?!}\)
Coś wielkie to prawdopodobieństwo?
filip.wroc pisze:4. prawdopodobieństwo braku działania czujki.
\(\displaystyle{ (A \cup B)'\\ P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B)=1-0,99-0,03=(-0,02)}\)
A tutaj wyjątkowo malutkie?
emilia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 maja 2010, o 17:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: emilia17 »

hmm nie może być większe od 1.
Jaki wzór zastosować do 1 i 4?-- 29 maja 2010, o 11:51 --Jak to będzie liczbowo ?
emilia17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 maja 2010, o 17:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 1 raz

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: emilia17 »

3) czujnik nie działa, a dym oznacza że się pali
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: mat_61 »

Ten temat masz powtórzony i w "drugim egzemplarzu" masz wskazówki:

https://matematyka.pl/200330.htm
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

prawdopodobieństwo ale warunkowe

Post autor: mat_61 »

Czyli, jeżeli dobrze rozumiem, pytanie jest takie:

3. System alarmowy nie zadziałał. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (pomimo to) jest pożar?

Rozwiązanie jak dla punktu 2), czyli wzór Bayesa (w nawiązaniu do przykładu 4)
----------------------------
Jeżeli w szkole nie było wzoru Bayesa (a nawet prawdopodobieństwa całkowitego) to możesz:

- sama poszukać tych wzorów w podręczniku
- obliczyć w inny sposób np. wg takiego rozumowania (jest to tożsame ze wzorami na p-stwo całkowite i Bayesa, ale nie wymaga wprost znajomości tych wzorów):

Wyjaśnienie dla zadania 2):
a - system alarmowy (czujnik) zadziałał - wartość tego prawdopodobieństwa obliczyłaś w punkcie 1. Ten przypadek składa się z dwóch możliwości:

b1 - czujnik zadziałał i był pożar: prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ P(A/B_{1}) \cdot P(B_{1})}\)

b2 - czujnik zadziałał i nie było pożaru: prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ P(A/B_{2}) \cdot P(B_{2})}\)

I na koniec wartość obliczoną w punkcie b1 dzielisz przez wartość obliczoną w punkcie "a" - a ta jest równa sumie wartości z punktów b1 i b2 (czyli mówiąc obrazowo dzielisz "ilość" tych przypadków gdy czujnik zadziałał z powodu pożaru przez "ilość" tych przypadków gdy czujnik w ogóle zadziałał - te "ilości" są tutaj wyrażone poprzez odpowiednie prawdopodobieństwa)
ODPOWIEDZ