Wartość oczekiwania rozkładu geomtrycznego

[behemoth]

Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym z parametrem \(\displaystyle{ p = 0.4}\), tzn. \(\displaystyle{ P(N=k)=p(1-p)^k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,\dots}\) Niech \(\displaystyle{ M=\mbox{min}(N,11)}\). Oblicz \(\displaystyle{ EM=\sum\limits_{k=0}^{\infty} kP(M=k)}\)

Za pomoc w rozwiazaniu, bądź za jakieś wskazówki z góry dziękuję....

Behemoth^^

[kuch2r]

Niech \(\displaystyle{ M=\min{(N,11)}}\), wówczas \(\displaystyle{ M\in \{0,1,\ldots,11\}.}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ k\in\{0,1,\ldots,10\}}\)
\(\displaystyle{ P(M=k)=p(1-p)^k}\).
Ponadto:
\(\displaystyle{ P(M=11)=1-\sum\limits_{k=0}^{10}p(1-p)^k}\)
itd...

[behemoth]

Czyli:
\(\displaystyle{ P(M=11)=1-\sum\limits_{k=0}^{10}p(1-p)^k=
1-p\frac{1-(1-p)^{11}}{p}=}\)
Ale jak to wykorzystać do obliczenia: \(\displaystyle{ EM}\) ?????

[kuch2r]

Podstawic np do wzoru ?

[behemoth]

\(\displaystyle{ P(M=k)= \begin{cases} P(N \ge 11) \ dla \ N \ge 11 \\ \sum_{k=0}^{10} P(N=k) \end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ EM=\sum\limits_{k=0}^{\infty} kP(M=k) = \sum_{k=11}^{\infty}kP(N = k) + \sum_{k=0}^{10}k P(N=k)}\)
TAK??

[kuch2r]

Jak już wcześniej wspomniałem zmienna losowa \(\displaystyle{ M}\) zdefiniowana w powyższy sposób tylko i wyłącznie następujące wartosci \(\displaystyle{ 0,1,\ldots,11}\). P-stwo otrzymania innych wartości jest równe zero.
Zatem
\(\displaystyle{ EM=\sum\limits_{k=0}^{11}k\cdot P(M=k)}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ P(M=k)\begin{cases}p(1-p)^k & dla\quad k=1,\ldots,10\\
1-\sum\limits_{k=0}^{10}p(1-p)^k & dla \quad k=11\end{cases}}\)