Spośród wszystkich wierzchołków 2001 kąta foremnego wybrano losowo trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkami
a) trójkąta równobocznego?
b) trójkąta równoramiennego?
Spośród wszystkich wierzchołków 2001 kąta...
-
- Użytkownik
- Posty: 162
- Rejestracja: 22 wrz 2006, o 17:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 40 razy
Spośród wszystkich wierzchołków 2001 kąta...
a) Aby trójkąt był równoboczny potrzeba i wystarczy, aby kolejne wierzchołki trójkąta dzieliła jednakowa ilość wierzchołków 2001-kąta - w tym przypadku kolejne wierzchołki musi dzielić 2001/3=667 wierzchołków 2001-kąta. Trójkąty równoboczne są więc postaci:
\(\displaystyle{ A _{k} A _{k+667} A _{k+1334}}\)
Jest ich 667 (bo tyle jest możliwych k, skoro k+1334<2002
Wszystkich trójkątów jest natomiast tyle co kombinacji 3 elementowych ze zbioru 2001 elementowego, z kąd już znajdziemy prawdopodobieństwo.
b) A więc tak: aby trójkąt był równoramienny, to długości dwóch ramion muszą być równe, toteż ilość wierzchołków 2001-kąta jakie je dzielą będzie równa. Taką "długość" ramienia możemy wybrać na 1000 sposobów - od 0 do 999 włącznie. Następnie możemy wybrać wierzchołek z pośród wszystkich 2001 wierzchołków wielokąta. Toteż ilość trójkątów równoramiennych będzie równa: \(\displaystyle{ 2001*1000}\)
Dzielimy to teraz przez ilość wszystkich trójkątów z podpunktu a) i mamy prawdopodobieństwo.
PS Nie jestem ekspertem więc nie biorę odpowiedzialności za poprawność mojego wywodu Liczę że jak coś jest nie tak, to ktoś mnie poprawi
\(\displaystyle{ A _{k} A _{k+667} A _{k+1334}}\)
Jest ich 667 (bo tyle jest możliwych k, skoro k+1334<2002
Wszystkich trójkątów jest natomiast tyle co kombinacji 3 elementowych ze zbioru 2001 elementowego, z kąd już znajdziemy prawdopodobieństwo.
b) A więc tak: aby trójkąt był równoramienny, to długości dwóch ramion muszą być równe, toteż ilość wierzchołków 2001-kąta jakie je dzielą będzie równa. Taką "długość" ramienia możemy wybrać na 1000 sposobów - od 0 do 999 włącznie. Następnie możemy wybrać wierzchołek z pośród wszystkich 2001 wierzchołków wielokąta. Toteż ilość trójkątów równoramiennych będzie równa: \(\displaystyle{ 2001*1000}\)
Dzielimy to teraz przez ilość wszystkich trójkątów z podpunktu a) i mamy prawdopodobieństwo.
PS Nie jestem ekspertem więc nie biorę odpowiedzialności za poprawność mojego wywodu Liczę że jak coś jest nie tak, to ktoś mnie poprawi