Odnośnie mediany rozkładu ciągłego i wartości wariancji

[bazinga]

Witam, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć następujące sprawy:
Po pierwsze primo
Mam obliczyć medianę takiego czegoś:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2x ^{2} } dla \left| x \right| < 1 \wedge 0}\) dla reszty
nie mam pojecia co z tym zrobić żeby obliczyć medianę, wiem że trzeba przyrównać całkę po przedziale -nieskończoność do x do 1/2, ale co zrobić jak mam 2 całki (bo chyba wartość bezwzględna tak poskutkuje:P)?
Czy da się zrobić to bez interpretacji geometrycznej? Bo na wykresie widać że mediana jest przedziałem [-1;1]. Czy dobrze rozumuję? Bardzo prosiłbym o wytłumaczenie mi tego
Po drugie primo:P
Do wariancji potrzeba mi wartość oczekiwana E(X^2) czy przyjmuję we wzorze
\(\displaystyle{ \int_{}^{}xf(x ^{2} )dx}\)
czy \(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{2}f(x)dx}\)
czy może \(\displaystyle{ \int_{}^{} x^{2}f(x^{2)}dx}\)
z 1-szej możliwości wariancja wyszła mi na minusie, z drugiej już ok, ale czy sposób jest dobry?

Pozdrawiam

[luka52]

ad uno
Wystarczy, że wyznaczysz wszystkie \(\displaystyle{ c}\), dla których \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^c f(x) \; \mbox d x = \frac{1}{2}}\). Równoważnie możesz wyznaczyć dystrybuantę rozkładu i sprawdzić gdzie jest równa 0,5.

ad duo
(nieco upraszczając) jest \(\displaystyle{ \mathbb{E} (g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \; \mbox d x}\). Zatem ta druga opcja, którą wymieniłeś jest prawdziwa.