Witam mam takie zadanko:
Wiadomo, że A i B są zależne. Sprawdź czy A` i B` A i B` A`i B są niezależne. Uzasadnij! Proszę o pomoc, bo nie mogę wpaść na pomysł rozwiązania.
Dowód niezależności zdarzeń
Dowód niezależności zdarzeń
hej ja to bym zrobiła tak
A,B niezależne to A' i B niezależne
Załóżmy, że Ai B są niezależne tzn. P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A)P(B)
chcemy pokazać że P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A')P(B)
P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B\A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B)-P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A')
POkażemy, że P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B')=P(A')P(B')
P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B')=P((A\(\displaystyle{ \cup}\)B)')=1-P(A\(\displaystyle{ \cup}\)B)=1-P(A)-P(B)+P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A')-P(B)+P(A)P(B)=P(A')-P(B)(1-P(A))=P(A')-P(B)P(A')=P(A')(1-P(B))=P(A')P(B')
A,B niezależne to A' i B niezależne
Załóżmy, że Ai B są niezależne tzn. P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A)P(B)
chcemy pokazać że P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A')P(B)
P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B\A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B)-P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(A')
POkażemy, że P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B')=P(A')P(B')
P(A'\(\displaystyle{ \cap}\)B')=P((A\(\displaystyle{ \cup}\)B)')=1-P(A\(\displaystyle{ \cup}\)B)=1-P(A)-P(B)+P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)=P(A')-P(B)+P(A)P(B)=P(A')-P(B)(1-P(A))=P(A')-P(B)P(A')=P(A')(1-P(B))=P(A')P(B')