prawdopodobieństwo warunkowe

[milena_sam]

W etapie I doświadczenia losujemy (bez zwracania) pięć kul z urny zawierającej sześć kul białych i cztery kule czarne. Wylosowane kule przekładamy do drugiej urny (która do tego momentu była pusta). W etapie II doświadczenia losujemy z drugiej urny (bez zwracania) dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, iż po pierwszym etapie wszystkie pięć wylosowanych kul to były kule białe, jeśli obie kule wylosowane w drugim etapie są białe.

Odpowiedź to: \(\displaystyle{ \frac{1}{14}}\), ale nie wiem jak do niej dojść

[sushi]

trzeba z z drzewka

pierwsze losowanie 6/10
drugie losowanie 5/9
trzecie losowanie 4/8
czwarte losownaie 3/7
piate losowanie 2/6


\(\displaystyle{ \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6}}\)

drugie losowanie to masz wylosowac 2 biale z samych bialych wiec prawdopodobientswto ====1-- 15 maja 2010, 19:11 --i jeszcze trzeba zobaczyc wzory na prawdopodobienstwo warunkowe, bo u mnie wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{3 \cdot 14}}\)

[Justka]

Skorzystajmy ze wzoru Bayesa:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(B|A) \cdot P(A) }{P(B)}}\)
A- wylosowano 5 białych kul w I etapie
B- wylosowano 2 białe kule w II etapie

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{ {6 \choose 5} }{{10 \choose 5}} = \frac{1}{3 \cdot 14}}\).

Zdarzenie B: \(\displaystyle{ P(B)= \frac{ {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 3} \cdot 1}{{10\choose 5} \cdot {5 \choose 2} } + \frac{ {6\choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {3 \choose 2}}{{10 \choose 5} \cdot {5 \choose 2}}+ \frac{{6\choose 4} \cdot {4\choose 1} \cdot {4 \choose 2}}{{10\choose 5} \cdot {5\choose 2}}+\frac{{6 \choose 4} \cdot {4 \choose 0} \cdot {5 \choose 2}}{{10 \choose 5} \cdot {5 \choose 2}}=\frac{1}{3}}\) pewnie idzie jakoś prościej

Oczywiście \(\displaystyle{ P(B|A)=1}\), zatem

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{1 \cdot \frac{1}{3 \cdot 14}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{14}}\)