ZAD. 1
W pudełku znajduje się 5 oporników dobrych i 7 oporników wadliwych.
Wybieramy losowo bez zwracania 4 oporniki.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrano 2 oporniki dobre i 2 oporniki wadliwe.
ZAD. 2
Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 1/3.
Do celu oddano niezależnie 5 strzałów.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony 3 razy.
ZAD. 3
Domofon ma 4 cyfrowy kod. Wiadomo, że pierwsza i trzecia cyfra są parzyste. Poza tym dokładnie jedna z pozostałych (czyli druga LUB czwarta) jest liczbą pierwszą, a ich suma (drugiej i czwartej) wynosi 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba nie znająca kodu, strzelając, wpisze go DOPIERO za trzecim razem.
Oporniki, Cel, Domofon - Prawdopodobieństwo
-
nineofeleven
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 7 maja 2010, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
Oporniki, Cel, Domofon - Prawdopodobieństwo
ZAD. 1
Wybieramy losowo bez zwracania 4 oporniki z 12
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = \(\displaystyle{ 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11880}\)
Teraz wybieramy losowo bez zwracania 2 oporniki z pięciu dobrych i 2 oporniki z siedmiu wadliwych
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) = \(\displaystyle{ 5\cdot 4\cdot 7\cdot 6=840}\)
Szukane prawdopodobieństwo : \(\displaystyle{ \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{840}{11880}= \frac{7}{99}}\)
Wybieramy losowo bez zwracania 4 oporniki z 12
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = \(\displaystyle{ 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11880}\)
Teraz wybieramy losowo bez zwracania 2 oporniki z pięciu dobrych i 2 oporniki z siedmiu wadliwych
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}}\) = \(\displaystyle{ 5\cdot 4\cdot 7\cdot 6=840}\)
Szukane prawdopodobieństwo : \(\displaystyle{ \frac{\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}=\frac{840}{11880}= \frac{7}{99}}\)
Oporniki, Cel, Domofon - Prawdopodobieństwo
Ok dziękuje, to już rozumiem, tak samo jak drugie zadanie jest bardzo proste, przecież można go policzyć z Bernoulliego
Problem jest jeszcze z 3 zadaniem. Niestety nie mam pomysłów :/
Problem jest jeszcze z 3 zadaniem. Niestety nie mam pomysłów :/
-
nineofeleven
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 7 maja 2010, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
Oporniki, Cel, Domofon - Prawdopodobieństwo
Tak, drugie zadanie można policzyć ze schematu Bernoulliego Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{40}{243}}\)
A jeśli chodzi o zadanie 3 to proszę:
Domofon ma czterocyfrowy kod,
pierwsza cyfra ma być parzysta więc mamy do wyboru cyfry: 0,2,4,6 lub 8 (5 cyfr),
trzecia cyfra także ma być parzysta więc także mamy do wyboru 5 cyfr,
cyfra czwarta jest natomiast uzależniona od cyfry drugiej lub na odwrót druga od czwartej
Jedna z tych dwóch cyfr jest liczbą pierwszą i w zsumowaniu z drugą daje wynik 9,
do wyboru mamy cyfry: 2,3,5 lub 7 Sprawdźmy je:
\(\displaystyle{ 2 + 7 = 9}\) , ale tylko jeden ze składników może być liczbą pierwszą, więc cyfry 2 i 7 odpadają,
\(\displaystyle{ 3 + 6 = 9 \vee 6 + 3 = 9}\) - zapis zgodny z treścią zadania,
\(\displaystyle{ 5 + 4 = 9 \vee 4 + 5 = 9}\) - ten zapis także jest zgodny z treścią zadania.
A teraz jeśli chodzi o nasz kod to na drugim miejscu mamy do wyboru 4 cyfry: 3,4,5 lub 6 i wtedy każdej z tych cyfr możemy przyporządkować tylko jedną inną na ostatnie miejsce w kodzie domofonu aby w zsumowaniu dały cyfrę 9.
Teraz możemy wyliczyć ilość kombinacji prawidłowych kodów:
\(\displaystyle{ 5\cdot 4\cdot 5\cdot 1 = 100}\)
Natomiast wszystkich kodów do wyboru mamy:
\(\displaystyle{ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10000}\)
A teraz jeśli chodzi o naszą osobę, która prawidłowy kod ma wybrać dopiero za trzecim razem to musimy założyć, że nie może ona strzelić dwa lub trzy razy tego samego kodu.. to tak na czystą logikę
Więc w pierwszym strzale wybiera kod zły, czyli jeden spośród 9900 na 10000.
W drugim strzale także wybiera kod zły czyli jeden spośród \(\displaystyle{ 9900 - 1 = 9899}\) na \(\displaystyle{ 10000 - 1 = 9999}\) - ponieważ jeden kod zły już wybrała więc zostało jej o 1 kod mniej do wyboru.
W końcu w trzecim strzale trafia, więc wybiera jeden spośród 100 kodów prawidłowych na \(\displaystyle{ 10000 - 2 = 9998}\) pozostałych - ponieważ dwa kody już wybrała.
Obliczyliśmy w ten sposób szanse trafienia kodu dopiero za trzecim razem = \(\displaystyle{ \frac{100}{9998} = \frac{50}{4999}}\)
A jeśli chodzi o zadanie 3 to proszę:
Domofon ma czterocyfrowy kod,
pierwsza cyfra ma być parzysta więc mamy do wyboru cyfry: 0,2,4,6 lub 8 (5 cyfr),
trzecia cyfra także ma być parzysta więc także mamy do wyboru 5 cyfr,
cyfra czwarta jest natomiast uzależniona od cyfry drugiej lub na odwrót druga od czwartej
Jedna z tych dwóch cyfr jest liczbą pierwszą i w zsumowaniu z drugą daje wynik 9,
do wyboru mamy cyfry: 2,3,5 lub 7 Sprawdźmy je:
\(\displaystyle{ 2 + 7 = 9}\) , ale tylko jeden ze składników może być liczbą pierwszą, więc cyfry 2 i 7 odpadają,
\(\displaystyle{ 3 + 6 = 9 \vee 6 + 3 = 9}\) - zapis zgodny z treścią zadania,
\(\displaystyle{ 5 + 4 = 9 \vee 4 + 5 = 9}\) - ten zapis także jest zgodny z treścią zadania.
A teraz jeśli chodzi o nasz kod to na drugim miejscu mamy do wyboru 4 cyfry: 3,4,5 lub 6 i wtedy każdej z tych cyfr możemy przyporządkować tylko jedną inną na ostatnie miejsce w kodzie domofonu aby w zsumowaniu dały cyfrę 9.
Teraz możemy wyliczyć ilość kombinacji prawidłowych kodów:
\(\displaystyle{ 5\cdot 4\cdot 5\cdot 1 = 100}\)
Natomiast wszystkich kodów do wyboru mamy:
\(\displaystyle{ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10000}\)
A teraz jeśli chodzi o naszą osobę, która prawidłowy kod ma wybrać dopiero za trzecim razem to musimy założyć, że nie może ona strzelić dwa lub trzy razy tego samego kodu.. to tak na czystą logikę
Więc w pierwszym strzale wybiera kod zły, czyli jeden spośród 9900 na 10000.
W drugim strzale także wybiera kod zły czyli jeden spośród \(\displaystyle{ 9900 - 1 = 9899}\) na \(\displaystyle{ 10000 - 1 = 9999}\) - ponieważ jeden kod zły już wybrała więc zostało jej o 1 kod mniej do wyboru.
W końcu w trzecim strzale trafia, więc wybiera jeden spośród 100 kodów prawidłowych na \(\displaystyle{ 10000 - 2 = 9998}\) pozostałych - ponieważ dwa kody już wybrała.
Obliczyliśmy w ten sposób szanse trafienia kodu dopiero za trzecim razem = \(\displaystyle{ \frac{100}{9998} = \frac{50}{4999}}\)
Oporniki, Cel, Domofon - Prawdopodobieństwo
proszę jeszcze raz przeanalizować zadanie pierwsze:
ZAD. 1
W pudełku znajduje się 5 oporników dobrych i 7 oporników wadliwych.
Wybieramy losowo bez zwracania 4 oporniki.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrano 2 oporniki dobre i 2 oporniki wadliwe.
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ P(A) =\frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}}=0.42}\)
Skorzystałem z kombinacji ponieważ wg mnie oporniki nie są rozróżnialne-wszystkie są identyczne, także kolejnosc nie ma znaczenia
proszę o odpowiedz
ZAD. 1
W pudełku znajduje się 5 oporników dobrych i 7 oporników wadliwych.
Wybieramy losowo bez zwracania 4 oporniki.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrano 2 oporniki dobre i 2 oporniki wadliwe.
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ P(A) =\frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}}=0.42}\)
Skorzystałem z kombinacji ponieważ wg mnie oporniki nie są rozróżnialne-wszystkie są identyczne, także kolejnosc nie ma znaczenia
proszę o odpowiedz