prawdopodobieństwo całkowite

iwona.k · Post autor: **iwona.k** » 19 paź 2006, o 15:34

mam takie zadanko:Wiemy że 0,5% pewnej populacji choruje na chorobę X.Istnieje też test T na tę chorobę. Niestety nie jest on idealny: jeśli dana osoba choruje na chorobę X prawdopodobieństwo jej wykrycia wynosi 97% , natomiast jesli dana osoba nie choruje na chorobę X prawdopodobieństwo jej wykrycia przez test T wynosi 0,4%. Przypadkowo wybrana osoba została poddana testowi T i dał on wynik pozytywny (stwierdził istnienie choroby). Jakie jest prawdopodobieństwo że osoba ta jest naprawdę chora?

Wynik który otrzymałam korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite wynosi 88,3%. Proszę o potwierdzenie tej informacji lub w razie otrzymania innego wyniku o rozwiązanie zadania.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 19 paź 2006, o 18:21

Wynik, który otrzymałaś, to prawdopodobieńtwo całkowite tego, że test T będzie pozytywny...

Oznaczmy zdarzenia: "test wypadł pozytywnie" przez T, a "badana osoba jest chora" przez X.
Co więcej, wiemy że
\(\displaystyle{ P(X)\ =\ 0,005 \\ P(T | X)\ =\ 0,97 \\ P(T | X^c)\ =\ 0,004}\)
Chcemy policzyć \(\displaystyle{ P(X | T)}\)

Mamy
\(\displaystyle{ P(X | T)\ =\ \frac{P(X\cap T)}{P(T)} \ =\ \frac{P(T | X)\cdot P(X)}{P(T | X)\cdot P(X)\,+\,P(T | X^c)\cdot P(X^c)}\ \ 0,54926...}\)

iwona.k · Post autor: **iwona.k** » 19 paź 2006, o 18:43

dzięki, teraz mam problem z takim zadaniem: Kontrola jakości zakładu odrzuca produkt wadliwy z prawdopodobieństwem 92% a produkt dobry z prawdopodobieństwem 2%. a) ile procent braków produkuje zakład jeśli kontrola odrzuca 5% produkcji? b) jeśli kontrola odrzuciła dany produkt, jakie jest prawdopodobieństwo , że jest wadliwy?

Czy w tym zadaniu należy skorzystać ze wzoru Bayesa? Oznaczam zdarzenia: W: produkt wadliwy , D: produkt dobry , O-produkt odrzucony, więc :
P(O/W) = 0,92
P(O/D) = 0,02
wszystkie odrzucone : 5% z całości, więc P(O) = 0,05
z moich obliczeń wynika że :
P(O/W)*P(W)+ P(O/D)*P(D)=P(O)
0,92*P(W)+0.02(1-P(W))=0,05
P(W) czyli ilość braków jaką produkuje zakład wychodzi 3,33%
co do podpunktu b prawdopodobieństwo że produkt jest wadliwy jesli został odrzucony przez kontrolę wyszło mi 60,72% . Proszę o sprawdzenie obydwu podpunktów.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 19 paź 2006, o 23:54

Jest już rzeczywiście b.późno jak dla mnie, ale...

punkt (a) wydaje się zrobiony dobrze...
a w punkcie (b) trzeba skorzystać właśnie z tw. Bayesa: \(\displaystyle{ P(W | O)\ =\ \frac{P(W)\cdot P(O | W)}{P(O)}}\)...

ale teraz to już na prawdę dobranoc!