Dane:
P(X=k) = \(\displaystyle{ \frac{2}{3 ^{k} }}\),
gdzie k=1,2,3...
Znaleźć E(X).
Po podstawieniu do wzoru stoję w miejsu, gdzie wychodzi szereg: \(\displaystyle{ 2( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{3}{27} + ...)}\)
I nie wiem co dalej. Nie wiem w ogóle, czy do tego miejsca robię dobrze..
Wyliczenie wartości przeciętnej E(X).
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Wyliczenie wartości przeciętnej E(X).
Robisz dobrze. Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{9}+ \frac{3}{27}+\dots= \frac{1}{3} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{27}+\dots + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}+ \frac{1}{81}+\dots +\frac{1}{27} + \frac{1}{81}+ \frac{1}{243}+\dots+\dots}\)
Czyli ściślej (ale mniej okiem widać, skąd się bierze):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{i}{3^i} = \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{i} \frac{1}{3^i} = \sum_{j=1}^{ \infty } \sum_{i=j}^{ \infty } \frac{1}{3^i}= \sum_{j=1}^{ \infty } \frac{1}{3^j} \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{1}{3^i}}\)
Taką sumę, mam nadzieję, umiesz policzyć? (Najpierw wewnętrzna, potem zewnętrzna, jeśli się nie pomylić, to wyjdzie prosta...)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{2}{9}+ \frac{3}{27}+\dots= \frac{1}{3} + \frac{1}{9}+ \frac{1}{27}+\dots + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}+ \frac{1}{81}+\dots +\frac{1}{27} + \frac{1}{81}+ \frac{1}{243}+\dots+\dots}\)
Czyli ściślej (ale mniej okiem widać, skąd się bierze):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{i}{3^i} = \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{i} \frac{1}{3^i} = \sum_{j=1}^{ \infty } \sum_{i=j}^{ \infty } \frac{1}{3^i}= \sum_{j=1}^{ \infty } \frac{1}{3^j} \sum_{i=0}^{ \infty } \frac{1}{3^i}}\)
Taką sumę, mam nadzieję, umiesz policzyć? (Najpierw wewnętrzna, potem zewnętrzna, jeśli się nie pomylić, to wyjdzie prosta...)
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Wyliczenie wartości przeciętnej E(X).
Nie znasz wzoru na
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } \alpha ^i}\)?
To sobie o tym szeregu, to chyba najbardziej podstawowy i często używany z szeregów nieskończonych...
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ \infty } \alpha ^i}\)?
To sobie o tym szeregu, to chyba najbardziej podstawowy i często używany z szeregów nieskończonych...
-
Majorkan
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków/Jasło
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 33 razy
Wyliczenie wartości przeciętnej E(X).
Można inaczej:
Niech \(\displaystyle{ |x|<1}\).
\(\displaystyle{ (x^{k+1})'=(k+1)x^k=kx^k+x^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k= (\sum_{}^{} x^{k+1})'- \sum_{}^{} x^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k=(\frac{x^2}{1-x})'-\frac{x}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k=\frac{2x-x^2}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}}\)
Wszystkie sumy są oczywiście po \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\).
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\), zatem \(\displaystyle{ E(X)=\frac{3}{2}}\).
Niech \(\displaystyle{ |x|<1}\).
\(\displaystyle{ (x^{k+1})'=(k+1)x^k=kx^k+x^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k= (\sum_{}^{} x^{k+1})'- \sum_{}^{} x^k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k=(\frac{x^2}{1-x})'-\frac{x}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} kx^k=\frac{2x-x^2}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}}\)
Wszystkie sumy są oczywiście po \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \infty}\).
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=\frac{1}{3}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\), zatem \(\displaystyle{ E(X)=\frac{3}{2}}\).
-
erina
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 29 mar 2010, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pruszków
- Pomógł: 38 razy
Wyliczenie wartości przeciętnej E(X).
Fakt, można (jeśli się miało pochodne. Nie wiem, z jakiego etapu edukacji to zadanie pochodzi). Tak czy inaczej - sumę szeregu geometrycznego znać trzeba.