dystrybuanta zmiennej losowej

[polcia_89]

Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny w kwadracie o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0)}\). Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X,Y).}\)

Nie wiem jaki mam tutaj zastosować wzór, i nie wiem po czym mam całkować :/ Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

[luka52]

Nie wiem jaki mam tutaj zastosować wzór

Z def. dystrybuanty jest \(\displaystyle{ F(x,y) = P(X<x, Y<y)}\).

i nie wiem po czym mam całkować

Całkujesz po całej płaszczyźnie. Ponieważ jednak funkcja gęstości prawdopodobieństwa przyjmuje niezerowe wartości tylko w danym kwadracie, można się do niego ograniczyć.

[polcia_89]

Nie wiem jaki mam tutaj zastosować wzór

Z def. dystrybuanty jest \(\displaystyle{ F(x,y) = P(X<x, Y<y)}\).

i nie wiem po czym mam całkować

Całkujesz po całej płaszczyźnie. Ponieważ jednak funkcja gęstości prawdopodobieństwa przyjmuje niezerowe wartości tylko w danym kwadracie, można się do niego ograniczyć.

Chodziło mi o to, że nie wiem czy mam całkować wzór ten z gęstością rozkładu jednostajnego, czy jaki ?
I czyli mam przyjąć, że x całkuje od 0 do 1 i y tak samo ??

[luka52]

No tak - całkować trzeba funkcję gęstości.
A całkowanie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) nie może być od stałej do stałej, bo wtedy otrzymamy liczbę - a chcemy otrzymać funkcję zależną od x i y.
Zapisz

\(\displaystyle{ P(X<x, Y<y) = \int_{-\infty}^x \mbox d x' \int_{-\infty}^y f(x', y') \; \mbox d y'}\)

wyznacz postać funkcji \(\displaystyle{ f}\) i spróbuj dalej to uprościć (te primy przy x i y, są dla rozróżnienia zmiennych).

[polcia_89]

No to po co w ogóle jest w zadaniu podany ten kwadrat i jego wierzchołki jak tego nigdzie nie wykorzystujemy ?
Mam obliczyć calkę \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x}dx' \int_{-\infty}^{y} \frac{1}{b-a}ind.[a,b] dy'}\) ??
Jeśli tak, to co mam przyjąc za [a,b] ?

[luka52]

jak tego nigdzie nie wykorzystujemy ?

Jak to "nigdzie"? Przecież musisz jakoś wyznaczyć funkcję gęstości. Zrób to porządnie, a nie zapisuj na chybił trafił jakichś wzorów...

[polcia_89]

No ale właśnie kiedy nie wiem jaki mam zapisać ten wzór, dlatego pytam .....

[luka52]

Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny ...

Zatem fg będzie przyjmować stałą wartość, np. \(\displaystyle{ c}\). Teraz dziedzina:

w kwadracie o wierzchołkach: \(\displaystyle{ (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0)}\)

Czyli: \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} c & \text{dla } (x,y) \in \text{kwadrat} \\
0 & \text{dla pozostałych } (x,y)\end{cases}}\)
Należy wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c}\) i jakoś opisać ten kwadrat.

[polcia_89]

Hmm, no tak, to już wiem. A teraz jak wyznaczyć ta stała c i opisać kwadrat ? Oto jest pytanie..

[luka52]

Stałą \(\displaystyle{ c}\) wyznaczasz z warunku normalizacji, a kwadrat to po prostu pewien zbiór.

[polcia_89]

No ale co mi da tutaj warunek normalizacji: \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1}\) ??

[luka52]

Nic, bo nie o taki warunek chodzi. A co da jak będzie dobrze zapisany? No to już wcześniej napisałem...

[polcia_89]

Oki. Czyli i tak wiem, że nic nie wiem. Dzięki za pomoc, chociaż i tak nie wiem jak mam rozwiązać to zadanie.

[luka52]

Nic nie wiesz, albo po prostu nie chcesz wiedzieć. Czy naprawdę tak trudno zauważyć, że skoro mowa o dwuwymiarowej zmiennej losowej, to w warunku normalizacyjnym powinna pojawić się całka podwójna? I czy obliczenie takiej całki, która notabene sprowadza się do całki po kwadracie i to z funkcji stałej, to jakaś zaawansowana matematyka? Jeżeli tak, to cóż - rzeczywiście nie mamy o czym dyskutować.