gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej

[polcia_89]

Mam takie zadanie, niby łatwe ale nie mogę sobie poradzić z całkowaniem tego:
Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X,Y)}\) jest
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2\pi \sigma_{X} \sigma_{Y} } e^{[- \frac{1}{2}( \frac{ x^{2} }{( \sigma_{X})^2 }+\frac{ y^{2} }{( \sigma_{Y})^2 })] }.}\)
Obliczyć
a)\(\displaystyle{ P(X>0,Y>0)}\)
b) prawdopodobieństwo tego, że zmienna \(\displaystyle{ (X,Y)}\) przyjmuje wartości z obszaru określonego nierównością \(\displaystyle{ x>y.}\)




I drugie też z gęstością związane: Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X,Y)}\) jest
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{4} e^{(-|x|-|y|)}.}\).
Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P((X,Y) \in K),}\) gdzie K jest kwadratem o wierzchołkach w punktach: \(\displaystyle{ (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)}\). Nie wiem jakie tu trzeba rozważyć te przedziały do calkowania :/

Proszę o pomoc.

[kuch2r]

ad.a
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{\infty} f(x,y)\mbox{ dxdy}}\)
ad.b
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{x}^{\infty} f(x,y)\mbox{ dydx}}\)
ad.c
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{1}^{1} f(x,y)\mbox{ dydx}}\)

[polcia_89]

ad.a
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{\infty} f(x,y)\mbox{ dxdy}}\)
ad.b
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{x}^{\infty} f(x,y)\mbox{ dydx}}\)

Ale ja mam właśnie problem z całkowaniem tutaj

[kuch2r]

Odnośnie pierwszego...
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y}\exp{\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{\sigma^2_y\right)}dy\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\exp{\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{\sigma^2_x\right)}dx=\\=\frac{1}{4}}\)

[polcia_89]

Odnośnie pierwszego...
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y}\exp{\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{\sigma^2_y\right)}dy\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\exp{\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{\sigma^2_x\right)}dx=\\=\frac{1}{4}}\)

A czy \(\displaystyle{ \sigma}\) można traktować jako stałą i np. wyrzucić sobie przed całkę ??

[kuch2r]

hmm... a co ty rozumiesz przez zapis \(\displaystyle{ \sigma_y}\) ??

[polcia_89]

hmm... a co ty rozumiesz przez zapis \(\displaystyle{ \sigma_y}\) ??

No właśnie w tym cały sęk, że nie rozumiem tego, dlatego poprosiłam o pomoc..

[kuch2r]

To jest poprostu wariancja związana odpowiednio z rozkladem brzegowym zmiennej X czy tez Y.
I w naszym przypadku to są stałe.

[polcia_89]

Chyba jestem za głupia na to zadanie! :/
Bo dalej nie wiem jak mam dojść do tego, że ta całka wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Nie wiem jakie mam podstawienie zrobić do obliczenia całki: \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y}\exp{\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{\sigma^2_y\right)}dy}\). Bo wyciągnęłam sobie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y}}\) i dalej nie ruszyłam.

[kuch2r]

To jest nic innego jak funkcja gęstości rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej 0 oraz wariancji rowen \(\displaystyle{ \sigma_y}\). Zauważmy, że funkcją gęstości tejże zmiennej losowej jest funkcją parzystą.
Zatem
\(\displaystyle{ 1=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)dy=2\int\limits_{0}^{\infty} f(y) dy}\)

[polcia_89]

Tak. Wszystko ok, ale to nie zmienia faktu, że ja nadal nie wiem jak ruszyć z tą całką.