wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
isunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 12:30
Płeć: Kobieta

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: isunia »

Wybieramy losowo trzy różne liczb naturalne ze zbioru {1,2,3,...,100} . Czy bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez 4 czy wybranie trzech liczb z których można utworzyć ciąg arytmetyczny?

\(\displaystyle{ \Omega=C ^{3 } _{100} =161700
\\
A-wybranie \ trzech \ podzielnych \ przez \ 4
\\
A=C_{25}^{3} = 4600
\\
B-wybranie \ trzech \ liczb, \ których \ można \ utworzyć \ ciąg \ arytmetyczny
\\
B=???}\)


proszę o pomoc w znalezieniu mocy B-- 1 maja 2010, o 20:38 --odswiezam
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: pelas_91 »

\(\displaystyle{ \Omega = {100 \choose 3}}\)
A - wylosowane liczby są podzielne przez 4 (takich liczb jest 25)
\(\displaystyle{ A= {25 \choose 3}}\)
B - wylosowane liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny
zatem: \(\displaystyle{ b= \frac{a+c}{2}}\)
Nasz zbiór: \(\displaystyle{ {1,2,3,4,...,99,100}}\)
Wybieramy dowolne b. A teraz dopasowujemy "mu" nieuporządkowaną parę {a,c} tak żeby zaszły warunki zadania. Czyli od b muszę się oddalać o tyle samo miejsc w lewo i prawo.

Jak będę mieć b=2, to jest jedna możliwość: {1,2,3}
Jak b=3, to 2 możliwości: {2,3,4} lub {1,3,5}
....
Jak b=50, to jest 49 możliwości: {1,50,99} {2,50,98| ... {49,50,51}
Jak b=51, to to jest 49 możliwości.
....
Jak b=98, to 2 możliwości: {97,98,99} lub {96,98,100}
Jak b=99, to jedna możliwość: {98,99,100}

Razem możliwości: \(\displaystyle{ 2 \cdot (1+2+3+...+49)=2 \cdot \frac{1+49}{2} \cdot 49=50 \cdot 49=2450}\).

\(\displaystyle{ B=2450}\)

Ostatnio poprawiany - 2.05.2010 10:06
Ostatnio zmieniony 2 maja 2010, o 10:04 przez pelas_91, łącznie zmieniany 2 razy.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: »

pelas_91 pisze:Ale z każdej nieuporządkowanej trójki {a,b,c} mamy dwa takie ciągi (a,b,c) i (c,b,a).
Tak, ale my liczymy nie ilość ciągów, tylko ilość nieuporządkowanych trójek, więc będzie ich \(\displaystyle{ 2450}\) (we wcześniejszych rachunkach zjadłeś zero). Z tych samych przyczyn moc omegi się nie zmienia.

Q.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: pelas_91 »

Qń pisze:
pelas_91 pisze:Ale z każdej nieuporządkowanej trójki {a,b,c} mamy dwa takie ciągi (a,b,c) i (c,b,a).
Tak, ale my liczymy nie ilość ciągów, tylko ilość nieuporządkowanych trójek, więc będzie ich \(\displaystyle{ 2450}\) (we wcześniejszych rachunkach zjadłeś zero). Z tych samych przyczyn moc omegi się nie zmienia.

Q.
Zera już poprawiłem - dziękuję.

Z resztą się nie zgadzam - Wszędzie w moim rozumowaniu rozróżniam kolejność, trudno, żeby tego nie robić skoro pytają o ciąg, a ciąg jak wiemy jest uporządkowany?

Przecież: (1,2,3) to nie jest to samo co (3,2,1) - a w zliczaniu trójek w zdarzeniu B zaniedbywałem to, stąd mnożenie przez 2.


Proszę wskazać błąd jeśli dalej źle rozumuję.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: »

pelas_91 pisze:pytają o ciąg, a ciąg jak wiemy jest uporządkowany?
Nie, pytają o trójkę liczb z których można ułożyć ciąg (arytmetyczny).

Na prostszym przykładzie: na ile sposobów ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) można wybrać trzy liczby, z których da się ułożyć ciąg arytmetyczny? Według mnie na jeden (po prostu wybieramy wszystkie trzy liczby), według Ciebie na dwa (chociaż ilość wszystkich wyborów to \(\displaystyle{ {3 \choose 3} =1}\)).

Q.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: pelas_91 »

Dziękuję, poprawione
isunia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 6 wrz 2009, o 12:30
Płeć: Kobieta

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: isunia »

dzięki:)
Awatar użytkownika
R33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 26 lis 2008, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MRW / KRK
Podziękował: 85 razy

wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny

Post autor: R33 »

Ale w takim razie P(B)>P(A) ?
ODPOWIEDZ