Wybieramy losowo trzy różne liczb naturalne ze zbioru {1,2,3,...,100} . Czy bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez 4 czy wybranie trzech liczb z których można utworzyć ciąg arytmetyczny?
\(\displaystyle{ \Omega=C ^{3 } _{100} =161700
\\
A-wybranie \ trzech \ podzielnych \ przez \ 4
\\
A=C_{25}^{3} = 4600
\\
B-wybranie \ trzech \ liczb, \ których \ można \ utworzyć \ ciąg \ arytmetyczny
\\
B=???}\)
proszę o pomoc w znalezieniu mocy B-- 1 maja 2010, o 20:38 --odswiezam
wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny
- pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny
\(\displaystyle{ \Omega = {100 \choose 3}}\)
A - wylosowane liczby są podzielne przez 4 (takich liczb jest 25)
\(\displaystyle{ A= {25 \choose 3}}\)
B - wylosowane liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny
zatem: \(\displaystyle{ b= \frac{a+c}{2}}\)
Nasz zbiór: \(\displaystyle{ {1,2,3,4,...,99,100}}\)
Wybieramy dowolne b. A teraz dopasowujemy "mu" nieuporządkowaną parę {a,c} tak żeby zaszły warunki zadania. Czyli od b muszę się oddalać o tyle samo miejsc w lewo i prawo.
Jak będę mieć b=2, to jest jedna możliwość: {1,2,3}
Jak b=3, to 2 możliwości: {2,3,4} lub {1,3,5}
....
Jak b=50, to jest 49 możliwości: {1,50,99} {2,50,98| ... {49,50,51}
Jak b=51, to to jest 49 możliwości.
....
Jak b=98, to 2 możliwości: {97,98,99} lub {96,98,100}
Jak b=99, to jedna możliwość: {98,99,100}
Razem możliwości: \(\displaystyle{ 2 \cdot (1+2+3+...+49)=2 \cdot \frac{1+49}{2} \cdot 49=50 \cdot 49=2450}\).
\(\displaystyle{ B=2450}\)
Ostatnio poprawiany - 2.05.2010 10:06
A - wylosowane liczby są podzielne przez 4 (takich liczb jest 25)
\(\displaystyle{ A= {25 \choose 3}}\)
B - wylosowane liczby (a,b,c) tworzą ciąg arytmetyczny
zatem: \(\displaystyle{ b= \frac{a+c}{2}}\)
Nasz zbiór: \(\displaystyle{ {1,2,3,4,...,99,100}}\)
Wybieramy dowolne b. A teraz dopasowujemy "mu" nieuporządkowaną parę {a,c} tak żeby zaszły warunki zadania. Czyli od b muszę się oddalać o tyle samo miejsc w lewo i prawo.
Jak będę mieć b=2, to jest jedna możliwość: {1,2,3}
Jak b=3, to 2 możliwości: {2,3,4} lub {1,3,5}
....
Jak b=50, to jest 49 możliwości: {1,50,99} {2,50,98| ... {49,50,51}
Jak b=51, to to jest 49 możliwości.
....
Jak b=98, to 2 możliwości: {97,98,99} lub {96,98,100}
Jak b=99, to jedna możliwość: {98,99,100}
Razem możliwości: \(\displaystyle{ 2 \cdot (1+2+3+...+49)=2 \cdot \frac{1+49}{2} \cdot 49=50 \cdot 49=2450}\).
\(\displaystyle{ B=2450}\)
Ostatnio poprawiany - 2.05.2010 10:06
Ostatnio zmieniony 2 maja 2010, o 10:04 przez pelas_91, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny
Tak, ale my liczymy nie ilość ciągów, tylko ilość nieuporządkowanych trójek, więc będzie ich \(\displaystyle{ 2450}\) (we wcześniejszych rachunkach zjadłeś zero). Z tych samych przyczyn moc omegi się nie zmienia.pelas_91 pisze:Ale z każdej nieuporządkowanej trójki {a,b,c} mamy dwa takie ciągi (a,b,c) i (c,b,a).
Q.
- pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny
Zera już poprawiłem - dziękuję.Qń pisze:Tak, ale my liczymy nie ilość ciągów, tylko ilość nieuporządkowanych trójek, więc będzie ich \(\displaystyle{ 2450}\) (we wcześniejszych rachunkach zjadłeś zero). Z tych samych przyczyn moc omegi się nie zmienia.pelas_91 pisze:Ale z każdej nieuporządkowanej trójki {a,b,c} mamy dwa takie ciągi (a,b,c) i (c,b,a).
Q.
Z resztą się nie zgadzam - Wszędzie w moim rozumowaniu rozróżniam kolejność, trudno, żeby tego nie robić skoro pytają o ciąg, a ciąg jak wiemy jest uporządkowany?
Przecież: (1,2,3) to nie jest to samo co (3,2,1) - a w zliczaniu trójek w zdarzeniu B zaniedbywałem to, stąd mnożenie przez 2.
Proszę wskazać błąd jeśli dalej źle rozumuję.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wylosowanie 3 liczb ktore utworza ciag arytmetyczny
Nie, pytają o trójkę liczb z których można ułożyć ciąg (arytmetyczny).pelas_91 pisze:pytają o ciąg, a ciąg jak wiemy jest uporządkowany?
Na prostszym przykładzie: na ile sposobów ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\) można wybrać trzy liczby, z których da się ułożyć ciąg arytmetyczny? Według mnie na jeden (po prostu wybieramy wszystkie trzy liczby), według Ciebie na dwa (chociaż ilość wszystkich wyborów to \(\displaystyle{ {3 \choose 3} =1}\)).
Q.