dwunastościenna kostka do gry !

[321start]

Jednorodna (dobrze wyważona) kostka ma kształt dwunastościanu foremnego. Kostka ma dwie ścianki z jednym oczkiem, trzy ścianki z dwoma oczkami, cztery ścianki z trzema oczkami i po jednej ściance z czterema, pięcioma i sześcioma oczkami. Rzucamy 2 razy taką kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
a) wypadły dwie trójki
b) wypadła dwójka i szóstka
c) suma wyrzuconych oczek jest równa 6
d) iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 12

proszę o podpowiedzi co do mocy powyższych zdarzeń

[N4RQ5]

No dobra. Niech \(\displaystyle{ X_i}\) to będzie wartość w i-tym rzucie.
\(\displaystyle{ P(X_i=1) = \frac2{12} = \frac16\\
P(X_i=2) = \frac3{12} = \frac14\\
P(X_i=3) = \frac4{12} = \frac13\\
P(X_i=4) = P(X_i=5) = P(X_i=6) = \frac1{12}}\)
Bez względu na to który to rzut.
Oba rzuty są niezależne więc
\(\displaystyle{ P(X_1=k, X_2=l) = P(X_1=k) \cdot P(X_2=l)}\)
dla uproszczenia będę pisał tylko \(\displaystyle{ P(k,l)}\)

a) sprawa jest prosta
\(\displaystyle{ P(3,3) = \frac13 \cdot \frac13 = \frac19}\)

b) Tu masz dwie możliwości. Pierwsza wypadła 6 albo 2. No ale
\(\displaystyle{ P(k,l) = P(l,k)}\)
\(\displaystyle{ P(2,6) + P(6,2) = 2P(2,6) = 2 \cdot \frac14 \cdot \frac1{12} = \frac1{24}}\)

c)Możliwe pary wyników to:
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)
\(\displaystyle{ 2P(1,5) + 2P(2,4) + P(3,3) = 2\cdot \frac16 \cdot \frac1{12} + 2\cdot \frac14 \cdot \frac1{12} + \frac19 =
\frac1{36} + \frac1{24} + \frac19 = \frac{13}{72}}\)

d)
Znów możliwe pary to:
(2,6), (3,4), (4,3) i (6,2)
\(\displaystyle{ 2P(2,6) + 2P(3,4) = \frac1{24} + 2\cdot \frac13 \cdot \frac1{12}=
\frac1{24} + \frac1{18} = \frac7{72}}\)

Dla pewności sprawdź sobie rachunki ale metoda jest taka.