uklad dziesiatkowy

[sirzuben]

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze suma cyfr liczby n -cyfrowej (n>2) zapisanej w układzie dziesiątkowym, jest równa 3. pomocy

[JakimPL]

Zacznijmy od tego, że jeżeli suma cyfr wynosi \(\displaystyle{ 3}\), to liczba ta może się składać z:

\(\displaystyle{ 1^\circ \ 3}\) i samych zer

\(\displaystyle{ 2^\circ \ 2}\) i \(\displaystyle{ 1}\); reszta to zera

\(\displaystyle{ 3^\circ \ 1}\) w ilości \(\displaystyle{ 3}\); reszta to zera

Ile jest takich liczb w zbiorze liczb \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowych?

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) - niezależnie od \(\displaystyle{ n}\) tylko jedna (\(\displaystyle{ 0}\) nie może stać na początku).

\(\displaystyle{ 2^\circ}\) - Liczba nie może rozpoczynać się \(\displaystyle{ 0}\), tak więc na pierwszym miejscu będzie stać albo \(\displaystyle{ 1}\), albo \(\displaystyle{ 2}\) (dwie możliwości). Druga cyfra może być rozlokowana dowolnie wśród \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc. Stąd otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2 \cdot (n-1)}\).

\(\displaystyle{ 3^\circ}\) - na pierwszym miejscu musi stać \(\displaystyle{ 1}\), z czego pozostają dwie cyfry do rozlokowania wśród \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc. Liczb tych jest zatem \(\displaystyle{ {n-1 \choose 2}}\).

Mam nadzieję, że nigdzie nie popełniłem błędu w rozumowaniu.

[sirzuben]

1^circ - niezależnie od n tylko jedna (0 nie może stać na początku).

no ale 300 to nie to samo co 30000000 ? to dlaczego tylko 1 liczba?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ 300}\) to nie to samo \(\displaystyle{ 30000000}\), ale przy zmianie liczby cyfr zmienia się \(\displaystyle{ n}\). A my liczymy sytuacje dla określonego \(\displaystyle{ n}\). Tak więc - przykładowo - dla \(\displaystyle{ n=4}\) jedyną liczbą jest \(\displaystyle{ 3000}\); \(\displaystyle{ 300}\) czy \(\displaystyle{ 30000000}\) dotyczą już innego \(\displaystyle{ n}\).