urna, kule, wartość bezwzględna

[doolloress]

Z urny, w której znajdują się kule o numerach: \(\displaystyle{ 1, 2, ... , n (n>2)}\), losujemy kolejno bez zwracania dwie kule. Numery wylosowanych kul tworzą parę (x, y). Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo tego, że para (x, y) spełnia warunek |x-y|=2, jest mniejsze od 0,25?

Policzyłam już moc omega = n(n-1)

Prosiłabym poprowadzenie mnie przez dalszą część zadania łopatologicznie Nie wiem jak się wziąć za to zdarzenie elementarne z wartością bezwzględną.

[pelas_91]

Przypomnij sobie interpretacje geometryczną wartości bezwzględnej, np. |x-3|=5 znaczyło punkty na osi liczbowej odległe od punkty A(3) o dokładnie 5 - czyli x=-2 lub x=8

W zadaniu mamy |x-y|=2, czyli x=y+2 lub x=y-2. Czyli w liczeniu zdarzeń sprzyjających zdarzeniu z zadania (moc A) musimy postąpić tak, jedną liczbę losujemy dowolnie spośród n, a drugą taką żeby była o 2 mniejsza lub o 2 mniejsza.

Spróbuj policzyć ilość zdarzeń elementarnych i napisz wynik tutaj

[doolloress]

ale czy w tym przypadku można na kombinacjach to zdarzenie A?-- 24 kwi 2010, o 22:34 --to może \(\displaystyle{ |A|=n(n-2)}\) ?

[pelas_91]

ale czy w tym przypadku można na kombinacjach to zdarzenie A?

-- 24 kwi 2010, o 22:34 --

to może \(\displaystyle{ |A|=n(n-2)}\) ?

niby dlaczego? dla każdej liczby n wskażesz n-2 liczb mniejszych lub większych o 2?

"jedną liczbę losujemy dowolnie spośród n, a drugą taką żeby była o 2 mniejsza lub o 2 mniejsza"

[doolloress]

boo rozpisałam sobie to na jakimś prostym przykładzie. A więc w 1 przypadku (druga kula o 2 mniejsza od pierwszej): najpierw biorę tą pierwszą kulę na n sposobów, a drugą na (1/2 n - 1) , no nie wiem, jakoś za każdym razem mi to się zgadzało. w drugim przypadku (tj. druga kula o 2 większa od pierwszej) wychodzi mi taka sama sytuacja, potem suma i rezultat jaki widzisz. Jesteś w stanie wytłumaczyć mi, co robię źle?

[pelas_91]

A więc w 1 przypadku (druga kula o 2 mniejsza od pierwszej): najpierw biorę tą pierwszą kulę na n sposobów, a drugą na (1/2 n - 1) , no nie wiem, jakoś za każdym razem mi to się zgadzało. w drugim przypadku (tj. druga kula o 2 większa od pierwszej) wychodzi mi taka sama sytuacja, potem suma i rezultat jaki widzisz. Jesteś w stanie wytłumaczyć mi, co robię źle?

Jeżeli druga kula ma być o 2 mniejsza lub o 2 większa to mamy dla niej dwa przypadki a nie 1/2n -1

To już masz dużą wskazówkę. Zastanów się jeszcze czy zawsze dla x można znaleźć 2 możliwe y.

[doolloress]

okay, to mógłbyś wyjaśnić mi jak to zrobić?

[pelas_91]

Pierwszą kule wybieramy dowolnie - na n sposobów.
Drugą już nie, ma mieć numer o 2 mniejszy/większy - czyli na 2 sposoby.

Czyli takich par (sprzyjających zdarzeniu A) byłoby \(\displaystyle{ 2 \cdot n}\).

Ale nie zawsze da się znaleźć drugą kulę na 2 sposoby. Np. jeśli pierwsza kula ma numer 1 to nie ma dla niej kuli z numerem o 2 mniejszym (jest tylko jedna możliwość). Umiesz określić ile jest takich sytuacji gdy drugą kulę losujemy na 1 sposób? Ile zatem jest par sprzyjających zdarzeniu?

[doolloress]

wytężam mózg i chyba nic...

[pelas_91]

Dla kul z numerami (1) i (2) nie ma kul z numerem o 2 mniejszym.
Dla kil z numerami (n-1) i (n) nie ma kul z numerem o 2 mniejszym.
Czyli 4 możliwości za dużo w porównaniu do wyliczonego 2n.
Zatem \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=2n-4}\) Ile wynosi P(A)=?

[doolloress]

no to w takim razie \(\displaystyle{ P(A) = \frac{2n-4}{n(n-1)}}\) teraz to już się wydaje łatwe jak wytłumaczyłeś

[Pawelek91]

A moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie bedzie dwa razy mniejsza przez 2?? bo jak wylosoje \(\displaystyle{ k}\)-ta i \(\displaystyle{ l}\)-ta to jeszcze moge \(\displaystyle{ l}\)-ta i \(\displaystyle{ k}\)-ta ??

[pelas_91]

A moc zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie bedzie dwa razy mniejsza przez 2?? bo jak wylosoje \(\displaystyle{ k}\)-ta i \(\displaystyle{ l}\)-ta to jeszcze moge \(\displaystyle{ l}\)-ta i \(\displaystyle{ k}\)-ta ??

Zauważ, że koleżanka Omegę liczyła jako \(\displaystyle{ n(n-1)}\) czyli rozpoznawała kolejność wylosowania kul. Zatem przy liczeniu mocy A też musimy tę kolejność rozpoznawać, a co za tym idzie nie możemy dzielić przez 2.