rzucamy 3 krotnie symetrycznna kostka szescienna do gry. Oblicz prawdopodobienstwo zdarzenia ze
suma kwadratow liczb wyrzuconych oczek bedzie podzielna przez 3.
wiem ze moc omegi to bedzie \(\displaystyle{ 6 ^{3}}\)
ale jak obliczyc moc zdarzenia A???
dziekuje z gory za pomoc
3 krotny rzut kostka
-
krawcu1515
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 16 kwie 2010, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
3 krotny rzut kostka
Trochę teorii liczb:
\(\displaystyle{ a=3k \qquad a^2=9k^2\\
a=3k+1\qquad a^2=9k^2+6k+1\\
a=3k+2\qquad a^2=9k^2+12k+4}\)
Stąd widać, że aby suma kwadratów trzech liczb naturalnych była podzielna przez 3, wszystkie muszą być podzielne przez 3, albo żadna z nich podzielna przez 3.
Na prośbę dokładniejsze uzasadnienie:
Każda liczba naturalna jest postaci \(\displaystyle{ 3k, 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 3k+2}\)
Teraz patrzymy na kwadraty tych liczb. Wypisałem już wcześniej.
W pierwszym przypadku liczba jest podzielna przez 3
W drugim - daje resztę 1, gdyż składnik \(\displaystyle{ 9k^2+6k}\) jest podzielny przez 3.
W trzecim - na tej samej zasadzie -mamy resztę 4, albo inaczej, 1 (4:3=1 r 1).
Tak więc, albo kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, albo jest podzielny przez 3.
By teraz otrzymać liczbę podzielną przez 3 biorąc 3 liczby, jeśli każda z nich ma kwadrat podzielny przez 3, to także suma jest podzielna przez 3.
Jeśli dokładnie jedna liczba ma kwadrat niepodzielny przez 3, to suma kwadratów będzie dawała resztę 0+0+1 (sumuję tylko reszty z dzielenia przez 3).
Na tej samej zasadzie - 2 (3) liczby mają kwadraty niepodzielne przez 3- suma kwadratów daje resztę 2 (3, czyli znów 3:3=1 r=0, a więc tu mamy podzielność sumy kwadratów przez 3).
Wniosek: albo każda liczba jest podzielna przez 3, albo żadna.
Zatem możliwe układy to \(\displaystyle{ (3,3,3), (6,6,6), (a,b,c)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in\{1,2,4,5\}}\)
Pamiętaj, że kolejność jest ważna.
\(\displaystyle{ a=3k \qquad a^2=9k^2\\
a=3k+1\qquad a^2=9k^2+6k+1\\
a=3k+2\qquad a^2=9k^2+12k+4}\)
Stąd widać, że aby suma kwadratów trzech liczb naturalnych była podzielna przez 3, wszystkie muszą być podzielne przez 3, albo żadna z nich podzielna przez 3.
Na prośbę dokładniejsze uzasadnienie:
Każda liczba naturalna jest postaci \(\displaystyle{ 3k, 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 3k+2}\)
Teraz patrzymy na kwadraty tych liczb. Wypisałem już wcześniej.
W pierwszym przypadku liczba jest podzielna przez 3
W drugim - daje resztę 1, gdyż składnik \(\displaystyle{ 9k^2+6k}\) jest podzielny przez 3.
W trzecim - na tej samej zasadzie -mamy resztę 4, albo inaczej, 1 (4:3=1 r 1).
Tak więc, albo kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, albo jest podzielny przez 3.
By teraz otrzymać liczbę podzielną przez 3 biorąc 3 liczby, jeśli każda z nich ma kwadrat podzielny przez 3, to także suma jest podzielna przez 3.
Jeśli dokładnie jedna liczba ma kwadrat niepodzielny przez 3, to suma kwadratów będzie dawała resztę 0+0+1 (sumuję tylko reszty z dzielenia przez 3).
Na tej samej zasadzie - 2 (3) liczby mają kwadraty niepodzielne przez 3- suma kwadratów daje resztę 2 (3, czyli znów 3:3=1 r=0, a więc tu mamy podzielność sumy kwadratów przez 3).
Wniosek: albo każda liczba jest podzielna przez 3, albo żadna.
Zatem możliwe układy to \(\displaystyle{ (3,3,3), (6,6,6), (a,b,c)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c\in\{1,2,4,5\}}\)
Pamiętaj, że kolejność jest ważna.