gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej

[polcia_89]

Mam takie zad:
1. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), będącej polem koła, którego promień jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale \(\displaystyle{ (0,a)}\).

2.Promień koła jest zmienną losową \(\displaystyle{ R}\) o gęstości prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ f(r)= \begin{cases} e^{-r} \ dla \ r \ge 0 \\0 \ dla \ r<0.\end{cases}}\)
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ g}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ S=\pi R^{2}.}\)

3. Współrzędna \(\displaystyle{ X}\) punktu \(\displaystyle{ M}\) na osi \(\displaystyle{ OX}\) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym\(\displaystyle{ N(0,\sigma).}\) Niech \(\displaystyle{ Y}\) oznacza odległość punktu \(\displaystyle{ M}\) od punktu \(\displaystyle{ X=0}\). Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y.}\)

4. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{X}.}\) Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) jest określona wzorem \(\displaystyle{ \begin{cases} -1, \ jezeli X<0 \\ 0, \ jezeli X=0 \\ 1, \ jezeli X>0. \end{cases}}\)
Znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{Y}}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y.}\)


Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu, cenne wskazówki itp.
Z góry baaardzo dziękuje

[kuch2r]

Zadanie 1
Niech \(\displaystyle{ \xi\sim\mathcal{U}[0,a]}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\). Ponadto zdefiniujmy nową zmienną losową określoną w następujący spośób:
\(\displaystyle{ Y=\pi \xi^2}\)
Wówczas dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jest w postaci
\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P(Y<t)=P(\pi \xi^2<t)=P(\xi^2<\frac{t}{\pi})=P\left(-\sqrt{\frac{t}{\pi}}<\xi<\sqrt{\frac{t}{\pi}\right)=F_{\xi}\left(\sqrt{\frac{t}{\pi}}\right)-F_{\xi}\left(\sqrt{-\frac{t}{\pi}}\right)}\)
Przy założeniu \(\displaystyle{ t>0}\), w przeciwnym przypadku otrzymujemy 0.

Zadanie 2
Analogicznie jak w przypadku zadania 1.

Zadanie 3

\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(0,\sigma)}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ Y=|X|}\)
....