wartość oczekiwana i wariancja rozkłady wykładniczego

[polcia_89]

Może mi ktoś powiedzieć gdzie mam błąd, bo wartość oczekiwana rozkładu wykładniczego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\), a ma wyjść \(\displaystyle{ \lambda}\), i w związku z tym również nie wiem jak wyliczyć wariancję, bo jak już wezmę pod uwagę tą \(\displaystyle{ EX=\lambda}\) to i tak się gubię w obliczeniach.

\(\displaystyle{ EX=\int\limits_{0}^{\infty}x \frac{1}{\lambda}e^{ \frac{-x}{\lambda} } dx = \frac{1}{\lambda}\int\limits_{0}^{\infty}x e^{ \frac{-x}{\lambda} } dx = \lfloor f(x)=x f'(x)=1, g'(x)=e^{ \frac{-x}{\lambda}} g(x)=-\lambda e^{ \frac{-x}{\lambda}} \rfloor = \frac{1}{\lambda}[(-\lambda x e^{ \frac{-x}{\lambda}} + \lambda^{2}] 0^{\infty}= \frac{1}{\lambda}}\)
Tu gdzie jest \(\displaystyle{ 0^{\infty}}\) to oznacza w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\)
Proszę o pomoc.

A jeśli dodatkowo ktoś byłby tak dobry i obliczył mi wartości oczekiwane i wariancje rozkładów: geometrycznego, Cauchy'ego(wiem, że \(\displaystyle{ EX}\) nie istnieje) i normalnego \(\displaystyle{ N(0,1)}\)
byłabym baaaardzo wdzięczna.

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}[(-\lambda x e^{ \frac{-x}{\lambda}} + \lambda^{2}] 0^{\infty}= \frac{1}{\lambda}}\)

To przejście jest złe.

Co do reszty przykładów, to nie ma wielkiej filozofii - robi się je analogicznie. Jak masz jakiś problem obliczeniowy, to napisz, co nie pozwala Ci ruszyć problemu dalej.

[polcia_89]

A możesz mi powiedzieć jakie jest poprawne to przejście ?

[luka52]

Jak policzysz granice dla \(\displaystyle{ -\lambda x e^{ \frac{-x}{\lambda}}}\) to wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\). Ale nie zapominaj, że tam jeszcze jest \(\displaystyle{ \lambda^2}\) w tym całym wyrażeniu, które dostałaś po całkowaniu.

[polcia_89]

Aaa już wiem, przeoczyłam to
Dzię-ku-je )