Prawd. wyrzucenia parzystej ilości orłów.

[mkk12259]

Witam,
mam takie zadanie:
Niech prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w pojedynczym rzucie monetą wynosi p i będzie niezależne od rezultatów otrzymanych w innych rzutach. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby orłów w n rzutach monetą.

Doszedłem do tego że będzie to suma rozkładu dwumiennego ale przy parzystych współczynnikach:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p) ^{n-k}}\)
gdzie
n - to ilość rzutów
k - jest liczbą parzystą taką, że (\(\displaystyle{ k\ge 2}\) )
Problem w tym, że nie wiem jak policzyć taką sumę
Z góry dzięki za rady

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{k \ parz.} {n \choose k} a^k=
\sum_{k \ nieparz.} {n \choose k} a^k = \frac{1}{2}(a-1)^n}\)
(dowód łatwy z rozwinięcia w dwumian Newtona \(\displaystyle{ (a-1)^n}\))

Wystarczy więc przekształcić:
\(\displaystyle{ \sum_{k \ parz.} {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p) ^{n-k}=
(1-p)^n \sum_{k \ parz.} {n \choose k} \cdot \left( \frac{p}{1-p} \right)^k}\)
i zastosować wskazówkę.

Q.

[mkk12259]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{k \ parz.} {n \choose k} a^k= \sum_{k \ nieparz.} {n \choose k} a^k = \frac{1}{2}(a-1)^n}\)

(dowód łatwy z rozwinięcia w dwumian Newtona (a-1)^n)

Oj nie zgadzam się z tą równością, ponieważ na pierwszy rzut oka ich suma nie daje \(\displaystyle{ (1+a)^n}\) a przecież powinna ... Suma parzystych powinna wynosić :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ((1-a)^n+(1+a)^n)}\)
Temat zamknięty, mimo wszystko dzięki za pomoc