Znaleźć rozkład zmiennej losowej

[De Moon]

Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Exp(2)

Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 1- e^{-2X}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ $ egin{eqnarray*} F_Y (t) & = & P left( 1 - e^{-2X} le t
ight) = P left( -2X ge ln (1 -t)
ight) \ & = & P left( X le - ln sqrt{1 -t}
ight) = F_X ( - ln sqrt{1 -t} ), ; t in [0,1) end{eqnarray*} $}\)

Dalej wystarczy zróżniczkować dystrybuantę by otrzymać funkcję gęstości prawdopodobieństwa.

[De Moon]

Mógłby ktoś to policzyć do końca? Mi wychodzi inny wynik niż w odpowiedziach? (Jest tam napisane, że Y ma rozkład jednostajny U(0,1) )

[luka52]

De Moon, przedstaw swoje obliczenia.

[De Moon]

\(\displaystyle{ f_Y(y) = F'_Y(y) = F_X'(\frac{ln(1-y)}{-2}) = f_x (\frac{ln(1-y)}{-2})\cdot \frac{d}{dy}(\frac{ln(1-y)}{-2})}\)

Po wykonaniu tych działań zostaje mi 1/2

// Mam wrażenie, że błąd może być w tej części, którą zapisałem u góry. Jeśli tak jest to proszę o info dlaczego tak jest.

[luka52]

A na pewno dobrze zapisujesz funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu wykładniczego?
Nie ma rady - musi wyjść 1 .

[De Moon]

\(\displaystyle{ f_x(x) = e^{-2X}}\) dla x >0, oraz 0 dla pozostałych x

Z różniczki mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2(1-y)}}\)

Z gęstości mam \(\displaystyle{ 1-y}\)

[luka52]

No właśnie - to nie jest odpowiednia funkcja gęstości...

[bienieck]

A jak policzyć w tym przykładzie EY i VarY? Można jakoś przekształcić wykorzystując własności EY?