zmienne losowe

[skolukmar]

Mam problem z takim zadaniem:

\(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, X_{3}, ...}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o wartościach na zbiorze \(\displaystyle{ \lbrace0,4\rbrace}\) takimi, że \(\displaystyle{ P(X_{i} = 4 ) = 0,3}\) oraz \(\displaystyle{ P(X_{i} = 0 ) = 0,7}\) Oznaczymy \(\displaystyle{ T = min \lbrace \ i\ge 1 : X_{i} = 4 \rbrace}\) oraz \(\displaystyle{ T_{1} = min \lbrace i \ge 1 : X_{T+i} = 4\rbrace}\)
W jaki sposób obliczyć \(\displaystyle{ P(T_{1}=2)\\}\) ?

[Qń]

\(\displaystyle{ T = min \lbrace \ i\ge 1 : X_{i} = 6 \rbrace}\)

Jesteś pewien, że dobrze napisałeś treść? \(\displaystyle{ X_i}\) nigdy nie przyjmuje wartości sześć.

Q.

[skolukmar]

\(\displaystyle{ T = min \lbrace \ i\ge 1 : X_{i} = 6 \rbrace}\)

Jesteś pewien, że dobrze napisałeś treść? \(\displaystyle{ X_i}\) nigdy nie przyjmuje wartości sześć.

Q.

Tak , była literówka w pisaniu treści. Już poprawiłem

[Qń]

Treść można przeformułować tak: jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie wylosowanie czwórki nastąpi dwa losowania po pierwszym wylosowaniu czwórki? (przez kolejne losowania rozumiemy tu kolejne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_ i}\))

Odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 0,3 \cdot 0,7=0,21}\)
Jeśli bowiem już \(\displaystyle{ T}\) jest ustalone (tzn. wiemy w którym momencie wylosowaliśmy pierwszą czwórkę), to w losowaniu \(\displaystyle{ (T+1)}\)-wszym musimy wylosować zero, a w losowaniu \(\displaystyle{ (T+2)}\)-im musimy wylosować czwórkę.

Q.

[skolukmar]

Dlaczego \(\displaystyle{ T}\) jest ustalone ?
Czy nie trzeba rozwiązać przypadkiem wszystkich możliwości dla \(\displaystyle{ i}\) , których będzie nieskończenie wiele ?

[Qń]

Można, ale nie trzeba. Jeśli nie wierzysz, że nie trzeba, to sprawdź, że rozpatrzenie wszystkich możliwości da nam ten sam wynik:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0 }^{\infty} (0,7)^i \cdot 0,3 \cdot 0,7 \cdot 0,3}\)
(pierwsza czwórka pojawia się w \(\displaystyle{ (i+1)}\)-wszym losowaniu)

Bo to przecież wszystko jedno kiedy pojawi się ta pierwsza czwórka - prawdopodobieństwo, że druga pojawi się dwa losowania później jest równe \(\displaystyle{ 0,21}\) niezależnie od tego kiedy była ta pierwsza.

Q.