Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Zad.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając losowo trzy wierzchołki (2n+1)- kąta foremnego, otrzymamy trójkąt ostrokątny.
Prawdopodobieństwo otrzymania trójkąta ostrokątnego
-
mkb
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Prawdopodobieństwo otrzymania trójkąta ostrokątnego
Ze względu na nieparzystą liczbę wierzchołków wielokąta, trójkąt może być ostrokątny lub rozwartokątny, nigdy prostokątny (odcinek łączący dwa dowolne wierzchołki nie będzie średnicą).
Wybierzmy jeden, dowolny wierzchołek wielokąta. Dwa pozostałe wierzchołki trójkąta można wybrać na \(\displaystyle{ {2n \choose 2}}\) sposobów.
Ponumerujmy pozostałe (poza pierwszym wybranym) wierzchołki wieloboku: L1, L2, ..., Ln na lewo od wybranego oraz P1, P2, ... Pn na prawo od wybranego. Aby wybrany losowo trójkąt był ostrokątny, z jednym wierzchołkiem w pierwszym wybranym wierzchołku, musi być:
(1) drugi wierzchołek to jeden z oznaczonych Lx, a trzeci jeden z oznaczonych Py (x, y = 1, 2,...,n),
oraz:
(2) x+y>n (cięciwa powstała z pozostałych wierzchołków jest po drugiej stronie okręgu opisanego).
Dla L1 warunek (2) spełnia tylko Pn, dla L2 Pn i Pn-1 itd. To ciąg arytmetyczny z sumą \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\), tyle jest możliwych trójkątów ostrokątnych.
Szukane prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{n(n+1)}{2} }{ {2n \choose 2} }}\)
Wybierzmy jeden, dowolny wierzchołek wielokąta. Dwa pozostałe wierzchołki trójkąta można wybrać na \(\displaystyle{ {2n \choose 2}}\) sposobów.
Ponumerujmy pozostałe (poza pierwszym wybranym) wierzchołki wieloboku: L1, L2, ..., Ln na lewo od wybranego oraz P1, P2, ... Pn na prawo od wybranego. Aby wybrany losowo trójkąt był ostrokątny, z jednym wierzchołkiem w pierwszym wybranym wierzchołku, musi być:
(1) drugi wierzchołek to jeden z oznaczonych Lx, a trzeci jeden z oznaczonych Py (x, y = 1, 2,...,n),
oraz:
(2) x+y>n (cięciwa powstała z pozostałych wierzchołków jest po drugiej stronie okręgu opisanego).
Dla L1 warunek (2) spełnia tylko Pn, dla L2 Pn i Pn-1 itd. To ciąg arytmetyczny z sumą \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}}\), tyle jest możliwych trójkątów ostrokątnych.
Szukane prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{n(n+1)}{2} }{ {2n \choose 2} }}\)