Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{Y}}\) zmiennej losowej Y=2X jeśli gęstością \(\displaystyle{ f_{X}}\) zmiennej losowej X jest
\(\displaystyle{ f_{X}(x)= \left\{\begin{array}{l} 0 dla x<1 \\
\frac{1}{2} dla 1 \le x \le 3 \\
0 dla x>3\end{array}}\)
Mam rozwiązane te zadanie jednak bardzo prosiłabym o pomoc, gdyż nie wiem skąd wzięły się poszczególne rzeczy.
Rozw.
\(\displaystyle{ f_{y}(X)= \frac{1}{|a|} f_{x}( \frac{x-b}{a})}\)
no i teraz mam zapisane że nasze
a=2
b=0
[moje pytanie: skąd to wiadomo? Tzn. w którym miejscu jest te nasze a i b?]
dalej:
\(\displaystyle{ f_{y}(X)= \frac{1}{2} f( \frac{x}{2} ) = \left\{\begin{array}{l} 0 dla x<0 \\
\frac{1}{4} dla 2 \le x \le 6 \\
0 dla x>6\end{array}}\)
[moje pytanie: skąd wzięły się liczby 0, 1/4, 0 i dlaczego przedziały się zmieniły?]
znaleźć gęstość
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
znaleźć gęstość
\(\displaystyle{ Y=aX+b}\) - z tego odczytujesz a i b
-- 12 kwietnia 2010, 19:13 --
\(\displaystyle{ f_{y}(X)=\frac{1}{2}f(\frac{x}{2})=\left\{ \begin{array}{cc}
0 & \underline{x<2}\\
\frac{1}{4} & 2\le x\le6\\
1 & x>6\end{array}\right.}\) - poprawna gęstość
-- 12 kwietnia 2010, 19:19 --
dlaczego przedzialy sie wydluzyly??
powiedzmy, ze masz urzadzenie które daje ci losową liczbę z przedziału [1,3]
wskazanie takiego urządzenia reprezentuje zmienna losowa X,
zakładając, że każdą liczbę z tego przedziału możesz dostać z jednakowym prawdopodobieństwem gęstość twojej zmiennej losowej to właśnie f_x
teraz powiedzmy przeskalowujesz urzadzenie, interesuje cie jaka gestosc bedzie miec zmienna losowa Y=2X - powiedzmy, ze tylko na wyswietlaczu mnozysz wynik razy 2, nie zmieniajac urzadzenia, jakie wyniki dostaniesz?
skoro moglas otrzymac dowolna liczbe z przedzialu [1,3] z tym samym prawdopodobienstwem, to mnozac \(\displaystyle{ 2X \in [2,6]}\), skoro przedzial masz dlugosci (6-2)=4, a nadal losujesz jednostajnie, to gestosc bedzie postaci takiej jak napisalas, tzn. 1/4 x indykator zbioru [2,6]
- ten rachunek sprawdza sie wylacznie przy zmiennej jednostajnej (ze z przemnozenia zmiennej jednostajnej na [a,b] razy M otrzymujemy rozklad jednostajny na [M*a,M*b])
-- 12 kwietnia 2010, 19:13 --
\(\displaystyle{ f_{y}(X)=\frac{1}{2}f(\frac{x}{2})=\left\{ \begin{array}{cc}
0 & \underline{x<2}\\
\frac{1}{4} & 2\le x\le6\\
1 & x>6\end{array}\right.}\) - poprawna gęstość
-- 12 kwietnia 2010, 19:19 --
dlaczego przedzialy sie wydluzyly??
powiedzmy, ze masz urzadzenie które daje ci losową liczbę z przedziału [1,3]
wskazanie takiego urządzenia reprezentuje zmienna losowa X,
zakładając, że każdą liczbę z tego przedziału możesz dostać z jednakowym prawdopodobieństwem gęstość twojej zmiennej losowej to właśnie f_x
teraz powiedzmy przeskalowujesz urzadzenie, interesuje cie jaka gestosc bedzie miec zmienna losowa Y=2X - powiedzmy, ze tylko na wyswietlaczu mnozysz wynik razy 2, nie zmieniajac urzadzenia, jakie wyniki dostaniesz?
skoro moglas otrzymac dowolna liczbe z przedzialu [1,3] z tym samym prawdopodobienstwem, to mnozac \(\displaystyle{ 2X \in [2,6]}\), skoro przedzial masz dlugosci (6-2)=4, a nadal losujesz jednostajnie, to gestosc bedzie postaci takiej jak napisalas, tzn. 1/4 x indykator zbioru [2,6]
- ten rachunek sprawdza sie wylacznie przy zmiennej jednostajnej (ze z przemnozenia zmiennej jednostajnej na [a,b] razy M otrzymujemy rozklad jednostajny na [M*a,M*b])