dowód związany z wariancją i wartością oczekiwaną

[kociax]

Mniej więcej takie zadanie:

Wykazać, że gdy zmienna losowa ma rozkład Bernoulliego w n i p, to wartość oczekiwana równa się \(\displaystyle{ n \cdot p}\) , a wariancja \(\displaystyle{ n \cdot p \cdot q}\).

\(\displaystyle{ E \left(X \right)= n \cdot p}\)
\(\displaystyle{ D ^{2} \left( X\right)= n \cdot p \cdot q}\)

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego, to mamy:
\(\displaystyle{ P(X=k) = {n \choose k} p^kq^{n-k}}\).
Tak więc:
\(\displaystyle{ EX = \sum_{k=0}^{n} k\cdot P(X=k) =
\sum_{k=1}^{n} k\cdot {n \choose k} p^kq^{n-k} =
\sum_{k=1}^{n} n\cdot {n-1 \choose k-1} p^kq^{n-k} = \\ =
np\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1} p^{k-1}q^{n-k} =
np\sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} p^{k}q^{n-1-k} = \\ =
np (p+q)^{n-1}= np}\)

Oraz:
\(\displaystyle{ EX^2 = \sum_{k=0}^{n} k^2\cdot P(X=k) =
\sum_{k=0}^{n} k(k-1)\cdot P(X=k) +\sum_{k=0}^{n} k\cdot P(X=k) = \\ =
\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\cdot {n \choose k} p^kq^{n-k} + np =
\sum_{k=2}^{n} n(k-1)\cdot {n-1 \choose k-1} p^kq^{n-k} + np = \\ =
\sum_{k=2}^{n} n(n-1)\cdot {n-2 \choose k-2} p^kq^{n-k} + np =
n(n-1)p^2\sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2} p^{k-2}q^{n-k} + np = \\ =
n(n-1)p^2\sum_{k=0}^{n-2} {n-2 \choose k} p^{k}q^{n-2-k} + np =
n(n-1)p^2 (p+q)^{n-2} + np= \\ =n(n-1)p^2 + np}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ D^2X = EX^2 - (EX)^2 = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 =
np-np^2=np(1-p)=npq}\)