Wykaż, że... Podwojna nierówność, prawdopodobieństwo

[tomekkyo]

Wykaż, ze jeżeli \(\displaystyle{ A, B\subset \Omega}\) oraz \(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{3}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\leq P(A\cup B)\leq \frac{7}{12}}\) i \(\displaystyle{ P(B-A)\geq \frac{1}{12}}\).

[Nakahed90]

Jaki masz problem w tym zadaniu?

[tomekkyo]

Właściwie to pierwszą część, rozwiązałem

\(\displaystyle{ 1^{o}}\) A i B Rozłączne

\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\phi}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}}\)

\(\displaystyle{ 2^{o}}\) A zawiera się w B

\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=\frac{1}{3}}\)

Stąd: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\leq P(A\cup B)\leq \frac{7}{12}}\)

Jeżeli można to proszę o rozwiązanie \(\displaystyle{ P(B-A)\geq \frac{1}{12}}\) tylko krok po kroku, żeby było łatwiej zrozumieć.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ P(B-A)>=P(B)-P(A)}\)

[tomekkyo]

To wszystko? Jakieś takie za proste. W książce, nie mam odpowiedzi bo to dowód jest, ale jest podpowiedź:

Zapisz zdarzenie \(\displaystyle{ A \cup B}\) w postaci sumy zdarzeń rozłączonych: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B-A}\)

O co chodzi w tej wskazówce, czy to nie czasem to samo co napisałeś linijkę wyżej?