Mam problem z wpadnięciem na pomysł rozwiązywania zadań typu jak poniżej
Niech \(\displaystyle{ \{X_{n},n\in \mathbb{N}\}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym E(1). Niech \(\displaystyle{ Y_{n}=min \{X_{1},...,X_{n}\}.}\) Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ \{Y_{n}\}}\) jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie. Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w \(\displaystyle{ L^{p}}\)?
Zbieżność według prawdopodobieństwa i nie tylko
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Zbieżność według prawdopodobieństwa i nie tylko
Odkopię temat dla przyszłych pokoleń : )
\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1) \forall_{n \in \NN}}\).
\(\displaystyle{ Y_n=\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}}\)
Policzmy dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)= P(Y_n \le t)=1-P(Y_n>t)=1-P(X_1 >t \wedge \ldots \wedge X_n >t)=1- P(X_1>t) \cdot P(X_2>t) \cdot \ldots \cdot P(X_n>t)=1- \left( P(X_1>t)\right)^n= 1-e^{-nt}}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
\(\displaystyle{ P(|Y_n|>\varepsilon)= 1- P(|Y_n| \le \varepsilon)= 1 - P(Y_n \le \varepsilon)= 1- \left( 1-e^{-n\varepsilon}\right)=e^{-n\varepsilon} \to 0}\) dla \(\displaystyle{ n \to \infty}\)
Mamy zatem zbieżność według prawdopodobieństwa.
Teraz skorzystamy z FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon >0} \sum_{n=1}^{\infty}P(|X_n-X|> \varepsilon) < + \infty}\), to \(\displaystyle{ X_n \to X}\) prawie wszędzie.
Zatem obliczmy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n\varepsilon}}\) - zbieżny szereg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q= \frac{1}{e^{\varepsilon}}<1}\).
Zatem \(\displaystyle{ Y_n \to 0}\) prawie wszędzie.
\(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots}\) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{E}(1) \forall_{n \in \NN}}\).
\(\displaystyle{ Y_n=\min\left\{ X_1, X_2, \ldots , X_n\right\}}\)
Policzmy dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)= P(Y_n \le t)=1-P(Y_n>t)=1-P(X_1 >t \wedge \ldots \wedge X_n >t)=1- P(X_1>t) \cdot P(X_2>t) \cdot \ldots \cdot P(X_n>t)=1- \left( P(X_1>t)\right)^n= 1-e^{-nt}}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\).
\(\displaystyle{ P(|Y_n|>\varepsilon)= 1- P(|Y_n| \le \varepsilon)= 1 - P(Y_n \le \varepsilon)= 1- \left( 1-e^{-n\varepsilon}\right)=e^{-n\varepsilon} \to 0}\) dla \(\displaystyle{ n \to \infty}\)
Mamy zatem zbieżność według prawdopodobieństwa.
Teraz skorzystamy z FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon >0} \sum_{n=1}^{\infty}P(|X_n-X|> \varepsilon) < + \infty}\), to \(\displaystyle{ X_n \to X}\) prawie wszędzie.
Zatem obliczmy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n\varepsilon}}\) - zbieżny szereg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q= \frac{1}{e^{\varepsilon}}<1}\).
Zatem \(\displaystyle{ Y_n \to 0}\) prawie wszędzie.