zadania z probablistyki

[zdrowakrowa]

Czesc. Mam za pare dni poprawke i potrzebuje Waszej pomocy z kilkoma zadaniami z ktorymi mam problem. Czy ktos wie jak sie do nich zabrac ?

1. Załóżmy,że \(\displaystyle{ $Y$}\) ma rozkład jednostajny \(\displaystyle{ $U [0, 1]$}\). Jeśli \(\displaystyle{ $Y = x$}\), to rzucamy \(\displaystyle{ n}\) razy monetą dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest równe \(\displaystyle{ x}\). Niech \(\displaystyle{ $S_n$}\) oznacza liczbę otrzymanych orłów. Wyznaczyć \(\displaystyle{ $P (S_n
= k), k = 0, 1, 2, \ldots, n$}\)

2. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi \(\displaystyle{ $0, 517$}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród \(\displaystyle{ $n = 10000$}\) noworodków liczba chłopcow nie przewyższy liczby dziewcząt ?

3. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ $X_n \Rightarrow X, Y_n \Rightarrow C = \tmop{const}.$}\), gdy \(\displaystyle{ $n \rightarrow \infty$}\), to \(\displaystyle{ $X_n + Y_n \Rightarrow X + C$}\), gdy \(\displaystyle{ $n \rightarrow \infty$}\).

4. Niech \(\displaystyle{ $\{X_n, n \geqslant 1\}$}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ $U [0, 1]$}\). Niech \(\displaystyle{ $Y_n = n \min \{X_1, X_2, \ldots, X_n
\}$}\). Czy istnieje taka zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\), że \(\displaystyle{ $Y \Rightarrow Y$}\), gdy \(\displaystyle{ $n
\rightarrow \infty$}\)?

5. Mamy \(\displaystyle{ n}\) osiedli położonych wzdłuż drogi w odległości 1 km od siebie. Osiedla obsługuje jedna karetka pogotowia. Każde kolejne wezwanie z jednakowym prawdopodobieństwem pochodzi z dowolnego punktu i zostaje natychmiast przekazane do karetki, która oczekuje na nie w osiedlu, w którym znajduje się ostatni chory. Jaka jest średnia odległość przejeżdżania przez karetkę w czasie jednego kursu?

6. Owad składa \(\displaystyle{ X}\) jajeczek zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ $\lambda, 0 < \lambda < \infty$}\) a owad z jajeczka wylęga się z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ $p, 0 < p < 1$}\), niezależnie od innych. Wyznaczyć średnią liczbę potomków.

7. Dane są niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie \(\displaystyle{ $\{X_n, n\geqslant 1\}$}\) takim, że \(\displaystyle{ $\tmop{EX}_1 = 0, 0 < \sigma^2 = \tmop{EX}^2 <\infty$}\). Wyznaczyć w zależności od \(\displaystyle{ $x \in R$}\) oraz \(\displaystyle{ $a \in R$}\)
\(\displaystyle{ \[ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} P (| \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n^a} | > x) \]}\)