Urna o n kulach bialych i czarnych

[withdrawn]

Z urny zawierającej n kul białych i n kul czarnych wybieramy jednocześnie 6 kul ( gdzie 2n>6). Niech \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznacza prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są tego samego koloru. Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty} p_{n}}\) wynosi ( wynik podaj w zaokrągleniu do części setnych):


Niestety nie wychodzi mi to zadanie,byc moze moj tok rozumowania jest zly,poniewaz ja liczylam to w ten sposob ze wybieram 6 kul sposrod n bialych i n czarnych a wiec moja omega to 2n kul i jak za pierwszym razem wybiore jaka kule to mam n po 2n, dalej n-1 po 2n-1 i tak 6 razy i to mnoze przez ta sama operacje bo teraz mysle ze wybieram sposrod kul czarnych czyli znowu 6 razy n po 2n razy n- 1 po 2n-1 i tak dalej.. wymnazam to wszystko w liczniku i mianowniku i licze granice...;/ ale wynik dobry nie jest. prosze wiec o pomoc.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich zdarzeń elementarych
A - zdarzenie polegające na wylosowaniu kul tego samego koloru
\(\displaystyle{ | \Omega|= {2n \choose 6}=\frac{(2n)!}{6! \cdot (2n-6)!}=\frac{\prod_{i=0}^{6} (2n-i)}{720} \\
|A|=2 \cdot {n \choose 6}=\frac{\prod_{i=0}^{6} (n-i)}{360}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ p_{n}=P(A)=\frac{2 \cdot \prod_{i=0}^{6} (n-i)}{\prod_{i=0}^{6} (2n-i)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} p_{n}= \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \prod_{i=0}^{6} (n-i)}{\prod_{i=0}^{6} (2n-i)}=\frac{1}{8}}\)

Mam nadzieję, że się nie machnąłem. Pozdrawiam, Tomasz.